Gita in pullmann

Identificazione

Rally: 29.I.17 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambito: FN
Famiglie:

• FU - Studiare il comportamento di una funzione
• FU/EX - Cercare un minimo o un massimo di una funzione
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQ2 - Risolvere un’equazione di 2° grado
• RF - Gestire una relazione funzionale
• RF/TRI - Gestire un’applicazione quadratica

Remarque et suggestion

Sunto

Determinare il valore minimo di un importo uguale a 3000 – 60 x + x2, ove x è un numero intero compreso tra 0 e 50 euro.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Comprendere il contratto – una situazione strana ma intrigante – tra gli iscritti e gli organizzatori, e la “penalizzazione”, in particolare il significato della frase «si pagheranno tanti euro di penalità quanti sono quelli che non partecipano».

Comprendere anche che il valore minimo in questione dipende dal numero delle persone che rinunciano, e fa intravedere “qualche cosa che varia” nella situazione: ci sono $50$ iscritti – di cui alcuni rinunciano o partecipano – che condurrebbe a $50$ importi possibili che sembrano a priori tutti diversi.

Infine, bisogna convincersi che sarà necessario calcolare gli importi, confrontarli per vedere se si può individuare una variabilità e se la sua natura ha regolarità, oppure no, con aumenti e diminuzioni, sperando che non sarà necessario calcolarli tutti.

Le diverse procedure appaiono nel capitolo seguente.

Nozioni matematiche

funzione, funzione quadratica, equazione, variabile, minimo, parabola, polinomio

Risultati

29.I.17

Punti attribuiti su 857 classi di 21 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta ($2100$ euro) con diversi calcoli dell’importo totale che facciano vedere esplicitamente che c’è stata una decrescita e poi una crescita (aumento e diminuzione dell’importo totale), nominando le $30$ persone e dettagli per $29$ e $31$ partecipanti o con procedura algebrica con calcolo esplicito del minimo.
• 3 punti: Risposta corretta ($2100$ euro) con spiegazioni incomplete: citando le $30$ persone ma senza la verifica per $29$ e $31$, oppure senza indicare esplicitamente le regolarità della decrescita e poi della crescita
  oppure risultato esatto ma giustificato solo con due o tre prove, come se fosse stato trovato per caso.
• 2 punti: Risposta corretta senza alcuna spiegazione o giustificazione.
• 1 punto: Inizio di ragionamento corretto, con un dettaglio dei calcoli (anche su un esempio) che mostri una traduzione corretta dell’enunciato in termini di persone che pagano la tariffa piena e di persone che pagano una penalità adeguata avendo rinunciato
  oppure risposta $2500$ e $50$ rinunce con qualche prova iniziale al di sotto dei $2500$ euro, pensando che la funzione continui a decrescere da $3000$ a $2500$.
• 0 punto: Incomprensione del problema, o incapacità di calcolare gli importi totali.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Procedure

1) Procedure aritmetiche parziali, basate su tentativi incompleti:

- Calcolo esatto per un esempio.

- Semplice verifica per 30 viaggiatori che rinunciano al viaggio, senza spiegazione della scelta di 30.

- Confronto di due importi e presentazione come risultato del più piccolo.

2) Procedure aritmetiche complete, basate su tentativi esaustivi, talvolta commentati a parole:

- Calcolo dell’importo per un numero di rinunce che varia da 50 a 10, di 10 in 10.

- Ricerca mirata (calcolo per 25, poi 35 poi semi-somma) e controllo nelle vicinanze del minimo.

- Ricerca sistematica, con rappresentazione in tabella.

3) Procedure algebriche non formali:

- Ricerca di regolarità e prime scritture di formule, anche se non sempre ridotte ad una sola variabile indipendente, del tipo: 60•partecipanti + rinunciatari.

- Tentativi di rappresentazioni grafiche, grafico che può esssere interpretato sia come la rappresentazione cartesiana di una funzione lineare a tratti (al posto di una funzione quadratica) sia come una rappresentazione simbolica delle variazioni.

4) Procedure algebriche simboliche:

- Riconoscimento corretto di una variabile indipendente (numero dei partecipanti p o numero dei rinunciatari r) ed espressione dell’incasso in funzione della variabile scelta: 60p + (50 - p)2² oppure r² + (50 - r)•60 oppure 60•50 – 60r + r² (PR9036)). Spesso l’espressione segue una ricerca di esempi, il legame è generalmente non esplicitato e non permette di sapere se la relazione è qualcosa di più di una espressione letterale “rappresentante” la procedura di calcolo (icona).

- In pochi casi, di cat.10, individuazione del minimo in corrispondenza del vertice della parabola.

Ostacoli ed errori rilevati

1) Attribuzione del minimo importo in corrispondenza del numero minimo di partecipanti (o massimo di rinunciatari), in molti casi si è esclusa a priori la possibilità che tutti potessero rinunciare.

2) Non riconoscimento della relazione non lineare tra numero di partecipanti e l’importo incassato, e conseguente interruzione della ricerca del minimo dopo il primo tentativo con il numero massimo di rinunciatari.

3) Errata interpretazione del meccanismo del calcolo della penale ottenuto moltiplicando il numero di rinunciatari per 1 anziché elevandolo al quadrato.

4) Applicazione errata della proporzionalità diretta per il calcolo dell’importo minimo.

5) Individuazione del minimo dovuto all’incidentale coincidenza tra il numero di rinunciatari (30) e la metà della quota di partecipazione (30€ = 60€/2).

6) Ricorso ad incrementi di 10 in 10, non seguito da una discretizzazione più fine.

Si sottolinea la presenza di possibili ostacoli linguistici nelle frasi del testo:

- La parola “minimo” in “Qual è l’importo minimo che gli organizzatori della gita possono incassare?” generale ugualmente incomprensione. Proponiamo di utilizzare la formulazione “Fra tutti i possibili importi che gli organizzatori della gita possono incassare, qual è il minore?”

Indicazioni didattiche

In classe si può incoraggiare l’esplicitazione dei tentativi sia su carta che con un foglio di calcolo, programmando una tabella e visualizzando in un grafico i dati. L’uso di tabelle e grafici dovrebbe favorire una riflessione sulla non linearità della relazione in oggetto.

Il problema ha buone potenzialità per quanto riguarda il monitorare il livello di competenza sulla formalizzazione e sulla generalizzazione a cui sono giunti gli allievi che lo risolvono.

Le prove esaminate mostrano con chiarezza il passaggio graduale dalla scrittura su alcuni casi numerici della procedura, alla generalizzazione in parte verbale, in parte simbolica, che spesso si accompagna alle relazioni numeriche, fino a giungere alla scrittura di una relazione simbolica che illustra la procedura generale.

Inoltre, il passaggio ulteriore che si può osservare in alcuni casi, è l’identificazione di questa relazione simbolica con una funzione che fa da modello vero e proprio all’analisi della situazione. Questo aspetto, come dimostrano alcuni elaborati, è già possibile ottenerlo in alcuni casi nella categoria 10, tuttavia potrà costituire un obiettivo didattico da perseguire attraverso la discussione di questo e di altri esempi, anche nelle classi successive.

Inoltre, la funzione in questo caso presenta un modello che va contro l’intuizione di un andamento lineare, e questo può mettere in discussione le prime esperienze con le funzioni che i ragazzi hanno fatto, ampliando il panorama delle possibilità da prendere in esame.

Per andare più lontano

Proporre qualche variante del problema cambiando il numero di partecipanti o il valore della quota di partecipazione (si è notato che in alcuni elaborati la soluzione “30 rinunce” è stato ottenuta in modo fortuito dividendo per 2 la quota di partecipazione di 60 euro).

Con i dati attuali (50 partecipanti al massimo, quota di 60 euro), con 50 partecipanti si incassa la somma di 3000 euro e con 0 partecipanti di 2500 euro: questo può indurre ad ipotizzare una funzione lineare decrescente. Agendo sulla variabile didattica della quota di partecipazione si può fare in modo che la situazione sia ribaltata e far nascere il sospetto che la relazione non sia lineare.

Inoltre il fatto che il minimo nm della funzione sia un numero intero induce alcune procedure non permette lo sviluppo di alcune giustificazioni. La scelta di una funzione che ha un minimo non intero obbligherebbe gli allievi ad un’analisi più fine della situazione. Un ulteriore sviluppo del problema si potrebbe realizzare con il passaggio da variabili discrete a variabili continue (vedi Mattonelle d’oro (24.II.19))

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