Calcolatrice speciale

Identificazione

Rally: 15.II.10 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambito: FN
Famiglie:

• RF - Gestire una relazione funzionale
• RF/FR - Elaborare una formula di corrispondenza

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare una funzione valida per le tre coppie oggetto-immagine (5 ; 25), (7 ; 31), (10 ; 40) e calcolare l’immagine di 9 attraverso questa funzione (la funzione più semplice è una funzione lineare).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Capire che il tasto « sorriso » fa corrispondere ad ogni numero che si immette nella calcolatrice una « immagine ». Osservare che la corrispondenza oggetto-immagine non è una semplice proporzionalità (25 = 5x5, ma 31 ≠ 7x5).

- Considerare le variazioni corrispondenti fra oggetti e immagini a partire dai tre esempi dati: quando il valore introdotto aumenta di 2 (da 5 a 7), la sua immagine aumenta di 6 (da 25 a 31) e quando aumenta di 3 (da 7 a 10), l’immagine aumenta di 9 (da 31 a 40).

- Congetturare la stabilità di questa osservazione e concludere che per un ingresso uguale a 9 (7+2), la calcolatrice indicherà 37 (31+6).

- Più in generale, fare l’ipotesi che ogni volta che si aumenta di 1 il numero in ingresso, la macchina aumenta di 3 il numero mostrato (« sorriso » è la funzione lineare : 10 + 3x). L’analisi a priori mette in evidenza varie procedure che mostrano più o meno esplicitamente la nozione di funzione secondo il livello degli allievi:

• 1. Mettere in relazione le le variazioni fra oggetti e immagini per osservare sugli esempi dati che ogni volta che si aumenta di 1 il numero in ingresso, la macchina aumenta di 3 il numero mostrato. Fare (implicitamente?) l’ipotesi della generalità di questa proprietà (ipotesi di funzione lineare) e applicarla al valore 9.
• 2. Procedere con una tabella di numeri da completare e cercare delle regolarità, in particolare quelle evocate in precedenza

ingressi: 5 6 7 8 9 10 immagine: 25 31 40

In questo caso, è sufficiente completare la successione aritmetica 25; 28; 31; 34; 37; 40 verificando che c’è il 31 e determinando il 37 come immagine di 9.

• 3. Da un punto di vista «funzionale», cercare delle relazioni dirette tra l’immissione e l’uscita: pensare ad una moltiplicazione, o ad un’addizione e rendersi conto che bisogna orientare le ricerche verso una composizione di due «funzioni semplici», per esempio di una moltiplicazione e di un’addizione. Una moltiplicazione per 3 fa corrispondere 3, 7 e 10 a 15, 21 e 30 che valgono 10 di meno delle immagini rispettive fornite dalla macchina. «La calcolatrice moltiplica per 3 poi aggiunge 10» (funzione lineare x -> 3x + 10) è dunque una congettura da accettare per le tre coppie date. L’immagine di 9 sarà allora 3 x 9 + 10 = 37.
• 4. Per gli allievi che avessero già incontrato delle rappresentazioni grafiche, utilizzare il fatto che le tre coppie (5;25), (7;31) e (10; 40) sono rappresentate da punti allineati.

Nozioni matematiche

funzione, relazione funzionale, corrispondenza oggetto-immagine, espressione algebrica, algoritmo

Risultati

15.II.10

Su 1093 classi di 12 sezioni partecipanti alla prova II del 15° RMT,

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta esatta (37) con spiegazione della « regola » trovata (verificata sulle coppie date e applicazione a 9, oppure con una tabella, o ancora con un grafico)
• 3 punti: Risposta esatta con spiegazione incompleta (per esempio senza la verifica dei tre esempi dati)
• 2 punti: Risposta esatta senza alcuna spiegazione
  oppure emissione di una congettura, confronto con gli altri valori numerici, ma senza calcolare l’immagine di 9
• 1 punto: Risultati come 45 o 36; con una congettura esplicitata ma non verificata per gli altri numeri dati e applicata direttamente al numero 9
• 0 punto: Incomprensione del problema

l tasso di riuscita medio, in punteggi attribuiti, è dello stesso ordine nelle categorie 5 e 6 (2,30 e 2,25) ; aumenta sensibilmente in categoria 7 (2,75).

La risposta corretta è stata trovata (2, 3 e 4 punti) da circa il 60% dei gruppi nelle categorie 5 e 6 e dai tre quarti in categoria 7. Quello che fa la differenza sono le spiegazioni e le verifiche.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Non ci sono veri e propri « errori » per il 28 % dei gruppi che hanno avuto « 0 punti » (« incomprensione del probema »). L’ostacolo principale è la formulazione dell’ipotesi di stabilità della relazione funzionale fra oggetto e immagine. Ciò mostra implicitamente un approccio alla nozione di funzione, che si manifesterà solamente ai livelli 9 e 10.

D’altra parte, un inizio di questa idea si può osservare nella costruzione di una tabella di valori (o di una messa in relazione dei valori in ingresso con i risultati mostrati dalla calcolatrice) che rispetti una certa regolarità fra i dati e le immagini corrispondenti. Può allora essere costruito un algoritmo di calcolo.

Anche al livello 5, sono state osservate tutte le diverse procedure previste nell’analisi a priori, esclusa la rappresentazione grafica, strumento non disponibile a questo livello. Gli elaborati si possono facilmente classificare in base ai criteri dell’analisi.

Indicazioni didattiche

Nelle condizioni di gara del RMT, il problema è alla portata della maggior parte dei gruppi di allievi di tutte le categorie, data la semplicità dei numeri proposti e l’evidenza della funzione. Anche senza avere affatto studiato le funzioni dal punto di vista matematico, i gruppi dimostrano una percezione già ben elaborata del concetto : una relazione o legame fra il numero che hanno immesso nella calcolatrice e il risultato mostrato. Ci sono tutti gli elementi : i tentativi per trovare il legame, le verifiche, il funzionamento su nuovi numeri. Ci si poteva aspettare di più ?

Nella pratica abituale di classe, le condizioni cambiano poiché l’insegnante è presente ; può organizzare dei momenti di messa in comune, dei controlli intermedi. Può anche arrivare a « fare risolvere » il problema assumendosi il carico dei momenti chiave della risoluzione ; ma con questi effetti del contratto didattico, non si raggiungerebbe lo scopo dell’attività, per esempio se si chiede esplicitamente agli allievi di « trovare » una formula che contenga i calcoli da fare per sapere ciò che mostrerà la calcolatrice quando si preme il tasto di un numero.

Occorre raggiungere i livelli da 8 a 10 (14-16 anni) per aspettarsi che la maggior parte degli allievi possa osservare e descrivere la regolarità delle variazioni sui tre esempi dati ed estrapolarla su altri numeri. Tuttavia la maggior parte dei gruppi individua la legge « x3 + 10 », realizzando così l’obiettivo di questo problema rispetto ai livelli del RMT. La nozione di funzione come corrispondenza univoca tra dei dati numerici e i risultati mostrati dalla calcolatrice è quindi l’obiettivo didattico principale di questa attività.

Vogliamo sottolineare che la risposta non è unica dal punto di vista matematico, ma è indeterminata. Notiamo l’uso del condizionale nella domanda  « …che cosa potrebbe mostrare la sua calcolatrice speciale? » che allude a questa indeterminazione, dal punto di vista del rigore. Quindi, un risultato diverso da 37 o una funzione diversa da quella proposta potrebbero non essere risposte « errate ». Per esempio, la risposta f(9) = – 91 è coerente con la funzione polinomiale f(n) = n⁴ – 15n³ + n² – 2440 per la quale 5, 7 e 10 hanno come immagine 25, 31 e 40.

Bibliografia

Henry, M. & Rizza, A. Six questions sur la notion de fonction dans les problèmes du RMT, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, vol. 8, Brigue 2008. Eds. Lucia Grugnetti & François Jaquet, ARMT, 2009, p. 143-166.

Krysinska, M. & Schneider, M. Émergence de modèles fonctionnels, les éditions de l’Université de Liège, col. Si les mathématiques m’étaient contées, 2010.

Rizza, A. & Henry, M. Idea di funzione, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, vol. 7, Bard (Valle d’Aosta) 2007. Eds. Lucia Grugnetti, François Jaquet, Gianna Bello, Rosanna Fassy, Graziella Telatin, ARMT, 2008, p. 181-198.

Groupe fonction (2010). Calcolatrice speciale. Studio ARMT (http://www.projet-ermitage.org/ARMT/doc/studio-fn3-it.pdf)

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