Banque de problèmes du RMT
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Comparer l’aire de deux figures sur quadrillage qui sont des assemblages de quatre types de polygones (un carré 1 x 1 et trois triangles qui sont respectivement la moitié d’un rectangle 1 x 1, 1 x 2 et 1 x 3).
Analyse a priori
- Observer les poissons en ayant à l’esprit qu’ils ont été faits en utilisant uniquement les types de pièces mentionnés.
- Dessiner un pavage de chaque figure avec les pièces à disposition et voir que le poisson d’Anne est formé de 4 carrés, de 4 petits triangles et 4 triangles moyens, tandis que le poisson de Bernard est formé de 2 carrés, de 2 petits triangles, de 4 triangles moyens et de 2 grands triangles.
- Comprendre que pour comparer les surfaces occupées par les poissons, il est nécessaire de comparer leurs aires et non le nombre de pièces nécessaires pour réaliser chacune des surfaces, ni même les contours des surfaces (leurs périmètres).
- Faire le choix d’une unité d’aire pour comparer les aires des deux figures : se rendre compte qu’un petit triangle est la moitié d’un carré 1 x 1 et donc que 2 petits triangles sont équivalents à un carré, qu’un triangle moyen est la moitié d’un rectangle d’aire deux carrés et donc que 2 triangles moyens sont équivalents à 2 carrés, et enfin, qu’un grand triangle est la moitié d’un rectangle d’aire 2 carrés et donc que 2 grands triangles sont équivalents à 3 carrés.
- Exprimer les aires des deux figures en prenant pour unité un carré du quadrillage :
- La procédure peut être simplifiée en retirant les parties des deux figues qui sont constituées avec les mêmes pièces : comparer les aires des deux figures revient à comparer les aires de surfaces composées l’une de 2 carrés et 2 petits triangles (poisson d’Anne) et l’autre de 2 grands triangles (poisson de Bernard).
Ou bien:
Même démarche que ci-dessus, mais en comparant les surfaces non occupées par les poissons.
Ou bien:
Après avoir pavé chaque figure avec les pièces à disposition, découper le pavage obtenu et réagencer les pièces de façon à obtenir deux nouvelles figures dont les aires sont plus faciles à comparer par superposition des figures ou par dénombrement des pièces choisies comme unité d’aire (carré ou petit triangle) (par exemple, le poisson d’Anne permet de reconstituer facilement un rectangle de 2 × 5 côtés de carré et ce rectangle peut parfaitement être recouvert avec les 10 pièces du poisson de Bernard).
Déduire qu’aucun enfant n’a raison parce que les deux figures ont la même aire.
L’erreur qui consiste à comparer les nombres de pièces nécessaires pour recouvrir chaque poisson conduit à répondre que c’est Anne qui a raison : elle a utilisé 12 pièces alors que Bernard en a utilisé 10.
aire, polygone, triangle, rectangle
Points attribués, sur 162 classes de 17 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 9 (19%) | 8 (17%) | 11 (23%) | 3 (6%) | 16 (34%) | 47 | 2.19 |
| Cat 5 | 4 (7%) | 4 (7%) | 15 (28%) | 9 (17%) | 22 (41%) | 54 | 2.76 |
| Cat 6 | 6 (10%) | 6 (10%) | 9 (15%) | 10 (16%) | 30 (49%) | 61 | 2.85 |
| Total | 19 (12%) | 18 (11%) | 35 (22%) | 22 (14%) | 68 (42%) | 162 | 2.63 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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