Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le périmètre d’un assemblage rectangulaire composé d’un grand carré de 48 cm de périmètre et de deux petits carrés égaux.
- Percevoir dans le dessin les trois photos et la page de l’album (objets en papier) correspondant au trois carrés et au rectangle de la page; « voir » que le rectangle est composé des trois carrés (figures géométriques)
- Identifier dans les carrés et rectangles les segments qui en constituent les côtés : quatre segments pour le pourtour de chaque photo et les quatre de la page, dont certains se superposent partiellement.
- Se rappeler que le périmètre ou « pourtour » est une longueur, égale à la somme des longueurs de tous les côtés de la figure : que, dans le cas du carré, la relation est « le périmètre est égal à la somme des quatre côtés » et dans le cas du grand rectangle « le périmètre est égal à la somme des quatre côtés du grand carré et de deux côtés des petits carrés ». Comprendre qu’il sera nécessaire de calculer les mesures des côtés des carrés.
- Déduire des données que le pourtour du grand carré, composé de quatre segments (côtés) égaux permet de calculer la mesure d’un de ses côtés par une division par 4. 48 ÷ 4 = 12 (cm). En tirer ensuite la longueur d’un côté des petits carrés : 12 : 2 = 6 (cm).
- Calculer la mesure du pourtour du grand rectangle par additions et/ou multiplications, par exemple : 12 + 12 + 12 + 6 + 6 + 6 + 6 = 12 × 3 + 6 × 4 = 18 × 2 + 12 × 2 = … = 60.
Il faut relever ici que la tentation de la mesure avec une règle graduée ne peut pas conduire à une solution correcte vu que le dessin est réduit. En revanche, une construction des trois photos en vraie grandeur, suivie d’une mesure directe pourrait être une manière de résoudre le problème (à condition de savoir effectuer la construction précise).
carré, rectangle, périmètre, longueur, côté, division, addition
Points attribués sur 2431 classes de 19 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 341 (48%) | 120 (17%) | 40 (6%) | 66 (9%) | 142 (20%) | 709 | 1.36 |
| Cat 4 | 375 (43%) | 139 (16%) | 53 (6%) | 83 (10%) | 214 (25%) | 864 | 1.56 |
| Cat 5 | 248 (27%) | 126 (14%) | 62 (7%) | 105 (11%) | 374 (41%) | 915 | 2.25 |
| Total | 964 (39%) | 385 (15%) | 155 (6%) | 254 (10%) | 730 (29%) | 2488 | 1.76 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Parmi les copies examinées, la constatation la plus évident est la progression selon les catégories de 3 a 5. Dans l’ensemble, 45 % des classes ont trouvé la réponse « 60 », mais seulement 35 % de celles de catégorie 3 alors qu’on arrive à 55 % en catégorie 5.
La réponse correcte, 60 cm (ou 60) repose sur la division 48 : 4 = 12, permettant de déterminer ainsi la mesure du côté du grand carré, puis, généralement le côté d’un petit carré est déterminé par la division 12 : 2 = 6.
Il arrive certaines fois que les écritures 48 : 4 = 12 ou 12 : 2 = 6 ne figurent pas explicitement mais les résultats 12 et 6 sont toujours présents.
Il y a de nombreuses manières de justifier la réponse 60. Par exemple : 10 × 6 ; 12 × 5 ; 18 + 18 + 12 + 12 ; 12 × 3 + 6 × 4, 12 + 12 + 12 + 12 + 6 + 6 ; … correspondant en général aux longueurs des côtés notées sur la figure par les élèves : 12 ; 6 et/ou 18.
Lorsque les élèves décrivent verbalement leur première opération on trouve des phrases comme :
- Puisque le pourtour de la grande image mesure 48 cm cela veut dire que chaque côté mesure 12 cm (12 × 4 = 48). …
- Nous avons divisé le pourtour de la grande photo par 4 ce qui nous a fait 12 cm. Ensuite …
Lorsque les élèves n’écrivent que les opérations, on trouve une majorité d'opération "48 : 4 = 12" ou lorsqu’ils n’indiquent pas les opérations le « 12 » est noté sur au moins deux côtés du grand carré.
On peut en conclure que ces élèves considèrent le périmètre ou « pourtour » de la figure « carré » comme la somme des longueurs égales des quatre côtés, puis ils continuent à considérer les côtés (segments) des autres figures pour les diviser par deux puis les additionner. Ils distinguent donc parfaitement les carrés (figures à deux dimensions) de leurs côtés (segments) et travaillent dans le domaine des longueurs, à une dimension.
La réponse 72 = 48 + 24 est l’erreur la plus fréquente et la plus typique, on la rencontre dans un quart des copies examinées. Ce serait la réponse correcte si on avait demandé l’aire de la page en donnant 48 cm2 pour l’aire de la grande photo.
Les élèves qui ont donné cette réponse ont semble-t-il perçu les espaces occupés plutôt que les segments qui les délimitent. Pour eux, la page est constituée d’un grand carré et de l’assemblage des deux petits, considérés comme une « bande » occupant la moitié de l’espace réservé au grand carré correspondant à la donnée « 48 ». Le mot « pourtour » ou l’unité « cm » n’ont vraisemblablement pas été « lus » de manière réfléchie. Par conséquent, ces élèves ont commencé par l’opération 48 : 2 = 24 qui leur donne une valeur liée à la « bande » des deux carrés, puis poursuivi par la division 24 : 2 = 12 qui leur donne une valeur attribuée à chacun des deux petits carrés.
Exemples :
- (cat 5) : 48 cm sont les cm de la grande photo, les petites photos sont la moitié, nous avons donc fait 48 : 2 qui nous donne 24 et nous avons alors additionné 48 + 24 = 72 qui est le pourtour de l’album
- (cat 4) : Nous avons trouvé que la mesure du pourtour de la page est 72 parce qu’on voyait que les deux petites photos étaient la moitié de la grande et nous avons donc fait 48 :2 puis 24 (résultat) :2 qui donne 12 × 2 parce qu’il y avait deux petites photos …
- (cat 3) : Les deux photos font la moitié de la grande photo donc la moitié de 48 fait 24 donc ensemble les 3 photos font 72.
- (cat 5) : J’ai trouvé ma réponse comme ça : vu que les petites photos font la moitié de la grande elles font 48 ces deux photos font la moitié de la grande photo donc elles font la moitié de 48 cm , cela fait 24 cm dont 24 + 48 = 72 cm.
Contrairement aux raisonnements qui ont conduit à la réponse correcte, il y a dans ces réponses « 72 » une addition de deux mesures associées aux figures à deux dimension, comparable à ce qui se passe dans le domaine des aires (à deux dimensions). Les élèves n’ont pas perçu les côtés (à une dimension) des figures, même s’ils accompagnent parfois leur réponse de l’unité « cm ».
La réponse 96 = 48 + 24 + 24 est moins fréquente, on la trouve dans 5 % des copies examinées. Parfois elle est de type « longueur » par le calcul des périmètres des deux petits carrés : 24 ou 6 + 6 + 6 + 6 et l’addition des trois périmètres et d’autres fois par l’addition des trois aires, comme le montre l’exemple suivant :
(Trad : Nous avons divisé 48 et nous avons obtenu 24 et alors nous avons additionné 48 + 24 + 24 et avons obtenu 96
On trouve encore de nombreuses autres réponses erronées 120, 240, 192, 48 erronées obtenues à partir de 48, 24, 12 et 6.
Exemple, aussi caractéristique de la confusion entre les figures à deux dimensions et leurs aires et les segments à une dimension et leurs longueurs.
- (Cat 5) : Réponse : le pourtour de la page mesure 120 cm. Nous avons lu que la mesure de la grande photo est 48 cm. C’est pourquoi nous avons pensé de prendre la petite figure et avons découvert que c’était la moitié. Nous avons calculé 48 : 2 qui donne 24, ce qui est la moitié de la grande figure. Pour calculer la longueur de toute la page nous avons fait 48 + 24 qui donne 72 et nous avons fait 72 + 24 qui donne 96 qui est la longueur de toute la page, puis 96 + 24 = 120.
Réponses voisines de 36 ou 37 Dans près de 10 % des cas, les élève ont mesuré les côtés des figures à la règle gradué, en cm, sans tenir compte de la donnée « 48 cm pour le pourtour du grand carré », ce qui aurait dû les conduire à une réponse proche de 36 ou 37 cm ( par exemple (11,0 + 7,3) ) × 2 = 36,6. Mais les variation vont au-delà des imprécisions des mesures et on trouve des réponses s’étalant de 35 à 40. Dans ces cas, les élèves ont travaillé dans le domaine des longueurs, à une dimension.
Dans près de 5% des cas, les élève n’ont mesuré que les dimensions des petits carrés et les ont combinés avec le « 48 cm » du grand carré. Ils ont aussi travaillé dans le domaine des longueurs, mais avec deux unités de mesure différentes !
Voici quelques exemples:
- (cat 4) : Le pourtour du grand carré est en rouge : 48 cm ; le rectangle des deux petits carrés a trois côtés en bleu : 15 cm (3,7 les largeurs, 3,8 et 3,8 la longueur) avec les explications : 48 + 15 = 63, 63 – 7.5 = 55,5. Le pourtour de la page sur laquelle sont collées les photos est de 55,5 cm.
- (cat 3) (Le pourtour du grand carré est en rouge : 48 cm ; les pourtours des deux petits carrés en bleu, avec « 3,5 cm » sur les côtés et « 14 » au centre) : 14 + 14 = 28, ; 48 + 14 = 76. Il y a 76 cm sur la page.
- (cat 5) (Les trois carrés sont indiqués par une flèche à partir des nombres 48, 19 et 19.) : Le pourtour de l’album fait 86 cm. Explication : D’abord nous avons calculé (mesuré) le pourtour de la grande photo. Elle fait 28 cm, puis nous avons calculé la différence entre le trait réel et le trait qui est ci-dessus. Nous avons trouvé 20 cm de différence. Donc nous avons divisé la grande image par 4 pour trouver la taille du chien et du chat. Nous avons additionné 48 + 19 + 19 = 86 car le pourtour du chien fait 19 cm.
On retrouve des observation analogues dans le problème Les terrains de jeu (19.II.04)
A l’examen des copies, on perçoit le très grand intérêt du problème pour distinguer les deux grandeurs souvent non perçues par les élèves, qui dépendent de ce que ces derniers « voient » dans la figure géométrique. S'ils perçoivent les lignes qui la composent (les segments) ils sont dans le domaine des périmètres; s'ils perçoivent les espaces déterminés par la figure en s’intéressant à « la place occupée » par les carrés ils sont dans le domaine des aires.
Une des manières les plus efficaces pour prendre conscience de ce que représente le « périmètre » est de demander aux élèves de construire en vraie grandeur les trois carrés. Pour le grand carré ils doivent penser à prendre leur règle graduée et commencer par dessiner un côté, dont la mesure ne peut être que 12 cm, puis construire les trois autres côtés de 12 cm aussi ; puis passer à la construction des petits carrés avec la découverte de 6 cm, puis, toujours en mesurant à la règle, si l’on veut savoir quel est le pourtour de la page il faut suivre ses côtés, mesurer 18 cm, 12, cm 18 cm et 12 cm et additionner 12 + 18 + 12 + 18 = 60.
Pour les catégories 5 et suivantes, si l’on veut insister sur la distinction entre longueurs et aires, la démarche suivante est à envisager:
Après une confrontation des résultats du problème résolu en classe, on peut imaginer de demander à chacun de dessiner en vraie grandeur la page et les trois photos sur un papier quadrillé en cm, et de noter toutes les longueurs des segments d’une couleur avec un ou plusieurs segments unité dessinés de la même couleur, puis de noter les aires des trois photos d’une autre couleur avec un ou plusieurs carrés-unités colorés de cette même couleur.
La présence simultanée de deux types de mesures et de leurs unités correspondantes devrait faire comprendre aux élèves l’importance de distinguer les aires 36, 36, 144 et 216 en cm2 des longueurs de côtés 6, 12, et 18, en cm, permettant de déterminer les périmètres de chaque figure.
D’une couleur, les mesures d’aire peuvent s’additionner:
36 + 36 + 144 = 216, …
de l’autre couleur l’addition des mesures de longueur permet de définir les périmètres:
6 + 6 + 6 + 6 = 24 = 4 × 6 …,
et la combinaison des deux couleurs permet une multiplication qui n’est pas l’addition répétée précédente, par exemple :
6 × 6 = 36 ; 12 × 18 = 216.
Voir aussi Les terrains de jeu (19.II.04)
(c) ARMT, 2019-2024