Les sept polygones

Identification

Rallye: 29.I.13 ; catégories: 7, 8 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Remarque et suggestion

Résumé

Comparer les aires de 7 figures dessinées sur un quadrillage; 2 triangles, 4 quadrilatères et un polygone à 5 côtés, dont tous les sommets sont sur des nœuds du quadrillage.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

La tâche de résolution, pour comparer les aires de ces sept figures, est de les déterminer toutes.

Les savoirs à mobiliser sont sont ceux qui permettent de calculer l’aire des deux triangles, dont l’un a un angle obtus, des deux rectangles, dont les côtés de l'un ne suivent pas les lignes du quadrillage, du parallélogramme, du trapèze et du pentagone particulier dont trois angles sont droits.

Il faut savoir aussi que, dans le cas particulier de ces figures, dont les sommets sont sur des noeuds du quadrillage, les unités de mesure « naturelles » sont le carreau du quadrillage pour les aires et le côté d’un carreau pour les longueurs.

Les élèves ont à leur disposition le comptage un à un de carreaux, la décomposition des figures en rectangles et triangles dont les aires se calculent facilement, la reconstitution de carreaux entiers par déplacements de parties non entières, la construction de rectangles circonscrits à la figure suivie de la soustraction des aires de rectangles et/ou de triangles rectangles complémentaires, les formules (lorsqu’elles sont connues et que la figure a été identifiée) de l’aire d’un triangle, d’un rectangle, d’un parallélogramme, d’un trapèze. (Figures A, B, C, D, E)

En revanche, les mesurages, en cm, des côtés des figures ou de parties de figures, combinés avec les opérations des formules ne permettent pas d’obtenir une réponse précise à la question, en raison des approximations de mesures.

Notions mathématiques

polygone, triangle, quadrilatère, rectangle, trapèze, parallélogramme, aire, unité d’aire, côté, longueur, unité de longueur quadrillage, formule

Résultats

29.I.13

Points attribués sur 1681 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (tous les polygones ont la même aire) avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs effectués avec la réponse explicitée
• 3 points: Réponse correcte et complète (tous les polygones ont la même aire) avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs effectués sans approximation pour 6 des sept polygones présentés
  ou réponse erronée pour s’être trompé sur le calcul de l’aire d’un seul des sept polygones avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs effectués sans approximation
  ou ou réponse correcte et complète (tous les polygones ont la même aire) avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs effectués sans la réponse explicitée
• 2 points: Réponse pour au moins 4 des sept polygones présentés avec la valeur de l’aire correcte avec des explications claires présentant la démarche suivie (qui peut être graphique) et les calculs justes effectués sans approximation
  ou réponse correcte avec la valeur de l’aire correcte sans autres explications
• 1 point: Début de recherche cohérente (par exemple détermination de l’aire de deux ou trois polygones ou seulement d’un polygone mais différent du rectangle)
• 0 point: Incompréhension du problème ou seulement détermination de l’aire du rectangle

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les analyses a posteriori se déroulent actuellement dans plusieurs sections. Elles font apparaître une très grande variété de procédures et parmi celles-ci, la mesure à la règle graduée en cm, de longueurs de côtés suivie pour calculer les aires à l'aide des formules usuelles.

Les résultats seront disponibles prochainement.

Exploitations didactiques

Le problème avait évidemment été conçu dans un but didactique. Le domaine des aires présente en effet un obstacle important dû à l'absence "d'instrument de mesure d'aire" et la prégnance des automatismes scolaires qui s'appuient sur les formules et la mesure préalable des longueurs en unité conventionnelles, en oubliant que le quadrillage est un instrument efficace dans ce cas.

Commentaires issus des analyses a posteriori en attente.

Bibliographie

Un article détaillé paraîtra dans le prochain numéro (12) de la Gazette de Transalpie

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