Il ritaglio di triangoli

Identificazione

Rally: 19.II.13 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: GP
Famiglie:

• QUA - Lavorare su una quadrettatura
• QUA/GQ - Gestire poligoni su carta quadrettata

Remarque et suggestion

Sunto

Individuare triangoli isosceli con due dei lati congruenti ad un segmento dato su una griglia quadrata.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Per la risoluzione di questo problema, che investe aspetti della geometria piana quali, angoli, triangoli isosceli, figure piane isometriche, necessita, gli allievi devono capire i vincoli da tener presente nella costruzione dei triangoli:

• i triangoli devono essere isosceli;
• i lati congruenti hanno la lunghezza del segmento indicato in figura;
• i vertici devono stare su punti di intersezione della quadrettatura;
• i triangoli devono essere tutti differenti (non congruenti fra loro).

Rendersi conto che, in ogni triangolo isoscele, i due lati della stessa lunghezza sono diagonali di rettangoli di dimensioni 2 e 4 (l’unità è il lato di un quadretto della quadrettatura).

Procedere in modo sistematico: per esempio, considerare tutti i segmenti che si possono tracciare a partire da uno dei vertici del segmento disegnato e che sono diagonali di rettangoli 2×4; costruire un triangolo isoscele con ciascuno di essi e con il segmento dato; scartare quelli congruenti a triangoli già ottenuti.

Oppure: rendersi conto, dopo aver disegnato un segmento sulla quadrettatura, che il terzo vertice del triangolo deve stare sulla circonferenza di centro un estremo di tale segmento e raggio uguale al segmento stesso. Disegnare con precisione una tale circonferenza; individuare i punti su di essa che sono anche punti di intersezione della quadrettatura; considerare i triangoli che si vengono così a formare e, a causa dell’imprecisione del disegno, verificare che sono isosceli utilizzando la quadrettatura; eliminare quelli congruenti ad altri già ottenuti.

Ricavare in ogni caso che i triangoli non congruenti tra loro che Cristina può ottenere sono 5 e disegnarli, per esempio nel modo seguente, indipendentemente dalla posizione del segmento dell’enunciato:

Nozioni matematiche

segmenti congruenti, triangoli isosceli, griglia quadrata

Risultati

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (5) con disegno che mostri i triangoli ben disposti sulla quadrettatura e con le giuste dimensioni
• 3 punti: Risposta con un solo triangolo “dimenticato” o una ripetizione (un triangolo congruente ad uno dei precedenti) O un errore (triangolo non conforme alle richieste: non isoscele o con i vertici non sulle intersezioni della quadrettatura)
• 2 punti: Risposta con due triangoli “dimenticati” O due ripetizioni O due errori
• 1 punto: Risposta con tre triangoli “dimenticati” O tre ripetizioni O tre errori
• 0 punto: Risposta con un solo triangolo corretto O incomprensione del problema (disegni di triangoli che non tengono conto delle condizioni)

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Una procedura incompleta piuttosto frequente è stata quella di “ricercare” solo triangoli isosceli con due lati congruenti al segmento dato, ma con una base orizzontale o verticale; cioè, triangoli isosceli in posizione che potremmo definire “privilegiata”. Un ostacolo importante è sembrato anche quello di non essere in grado di svincolarsi dalla posizione del segmento dato.

I punteggi molto bassi sono inoltre imputabili alla frequenza piuttosto alta di tre tipologie di errori :

• errori nella rilevazione della congruenza tra segmenti (si considerano isosceli triangoli che non lo sono).
• errori dovuti al non rispetto del vincolo relativo alla congruenza con il segmento riportato sulla griglia, (salvo il disegno del triangolo disegnato a partire proprio da tale segmento)
• errori dovuti ad una incomprensione dell’enunciato e gli allievi, ad esempio, riempiono l’intera quadrettatura con triangoli isosceli.

Indicazioni didattiche

Un problema come “Il ritaglio di triangoli” permette di far venire alla luce ostacoli caratteristici a proposito di nozioni che sembrerebbero acquisite, come il triangolo isoscele, la sua posizione e la congruenza di segmenti. Si osserva chiaramente che l’immagine di triangolo isoscele che hanno gli allievi è quella di una figura con tre lati di cui uno è orizzontale e gli altri due, congruenti, sono obliqui. Si tratta di una figura simmetrica con asse verticale (nel senso di Lismont & Rouche, 2001), dove l’oggetto di riferimento è “il tetto” (es. Marchini et al., 2002). Il termine "base" fa sì che quel lato non solo sia orizzontale ma anche "in basso". Il modello “bandiera”, (ancora nel già citato Marchini et al.), è molto meno frequente.

A proposito della ricerca delle altre posizioni del segmento di riferimento, sembra che ci si scontri con una difficoltà di altro genere: la concezione di questo segmento come una delle diagonali di un rettangolo di 2 x 4 o di un vettore di componenti 2 e 4 (es. Vighi, 2005). Per trovare le diverse posizioni di questo segmento, è necessario capire che “4 passi verso destra e 2 passi verso l’alto “ rappresentano uno spostamento isometrico a "2 passi verso destra e 4 passi verso alto” per commutatività, o ancora “2 passi verso sinistra e 4 passi verso il basso” per inversione tra destra e sinistra o tra alto e basso, etc.

Le questioni che si pongono dal punto di vista didattico sono molteplici.

E’ possibile “lottare” contro la predominanza di certe immagini mentali associate al triangolo isoscele? Come? Potrebbe essere sufficiente evitare di utilizzare il termine "base" e non disegnare il triangolo isoscele sistematicamente con un lato orizzontale?

Per andare più lontano

I tre problemi citati più sopra sono stati oggetto di analisi dettagliate e di sperimentazioni si rimanda agli articoli che ne sono scaturiti per approfondimenti di tipo didattico. Glia articoli, citati in bibliografia, hanno per titolo, rispettivamente, ‘Il rettangolo…non così evidente’ e ‘Difficoltà nel confronto di lunghezze’.

Il problema “Ritaglio dii triangoli”: Individuare segmenti congruenti su una griglia quadrata, fa parte di una serie di problemi che fanno intervenire il confronto di lunghezze su griglie quadrettate.

Attraverso la quadrettatura Distinguere le unità “lati” dalle unità “diagonali” dei quadretti di una griglia quadrettata

Il tavolo da spostare Distinguere rettangoli da parallelogrammi non rettangoli

Bibliografia

Anselmo B., Bisso C., Grugnetti L. (a nome del gruppo geometria dell’ARMT): 2011, ‘Il rettangolo…non così evidente’, La Gazzetta di Transalpino, n. 1.

Crociani C., Doretti L., Grugnetti L. Jaquet F. : 2012, ‘Difficoltà nel confronto di lunghezze’, La Gazzetta di Transalpino, No 2. http://www.armtint.org/fr/le-gazzette-di-transalpino/numero-2/viewcategory/11-gazzetta-n-2-articoli-gazette-n-2-articles).

Marchini C., Rinaldi M.G., Bedulli M., Grugnetti L.: 2002,Tetti e bandiere, Processi didattici innovativi per la Matematica nella scuola dell'obbligo, Pitagora (Bo), 223-236.

Lismont, L, Rouche, N. (a cura di), 2001, Forme et mouvements, CREM.

Vighi, P.: (2005), Measurement on the squared paper, in: Bosch, M., (Ed.), Proceedings of the IV Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, CERME 4, Sant Feliou de Guixols (Spagna), 18-21/02/05, pp. 777-786, ISBN: 84-611-3282-3, [Copyright left to the authors in 2006], pubblicato su CD.

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