Les deux rectangles

Identification

Rallye: 25.I.13 ; catégories: 7, 8 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/D - Comparer des aires par découpage
• DEM - Effectuer une démonstration
• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires

Remarque et suggestion

Résumé

Comparer l’aire de deux rectangles construits sur un même parallélogramme (le premier sur une paire de côtés parallèles, le second sur l’autre paire de côtés parallèles).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Observer les figures, reconnaître le parallélogramme en gris et les deux rectangles d’Antoine et Blanche et se rendre compte que ces deux rectangles ne sont pas égaux (ils n’ont pas les mêmes dimensions) mais qu’ils pourraient avoir la même aire comme le suggère la question ; ce qui est l’enjeu du problème.

Constater qu’aucune mesure n’est donnée dans l’énoncé et qu’il faudra faire un choix entre :

- prendre des mesures sur les deux dessins donnés ou

- travailler par une méthode générique (raisonnement indépendant du cas particulier).

La méthode des mesures exige la connaissance de la formule du calcul de l’aire du rectangle et par conséquent la reconnaissance de la longueur et de la largeur sur chacune des figures, la lecture précise de la règle graduée, le choix de l’opération (la multiplication des deux mesures) et son algorithme de calcul (ou le maniement de la calculatrice).

La méthode générique (indépendante des mesures effectives) consiste à consater que, dans chacune des deux constructions, le triangle gris et le triangle blanc peuvent se superposer exactement par un déplacement : une translation (dont la longueur et la direction sont celles du côté commun du rectangle et du parallélogramme). Après avoir reconnu le type de déplacement, il faut savoir qu’il ne modifie pas l’aire du triangle déplacé et que la somme des aires de la partie fixe et de celle du triangle déplacé ne varie pas et, par conséquent que, pour chaque figure, l’aire du parallélogramme est la même que celle du rectangle.

Finalement, par « transitivité », il faut déduire que, vu que le parallélogramme des deux figures est le même, l’aire des deux rectangles est aussi la même.

Notions mathématiques

triangle, quadrilatère, parallélogramme, rectangle, déduction, aire, translation, équivalence, isométrie

Résultats

25.I.13

Points attribués, sur 1922 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (les deux rectangles ont la même aire) avec une justification :
  - soit une application de la formule de l’aire du rectangle et du parallélogramme : produit d’une mesure du côté commun à celui du rectangle et de celle de sa « hauteur » correspondante, pour chacun des rectangles, en mentionnant la transitivité permettant de passer d’un rectangle à l’autre,
  - soit la mention de l’égalité des triangles, pour chaque figure, avec quelques éléments de justification sur l’égalité des côtés ou le mouvement de translation conduisant à l’équivalence de chacun des deux rectangles avec le parallélogramme, puis par transitivité des deux rectangles entre eux,
• 3 points: Réponse correcte (les deux rectangles ont la même aire) : avec une justification du genre de celle de l’attribution précédente, mais incomplète (sans préciser pourquoi les triangles sont égaux, ni parler de transitivité …)
  ou réponse correcte fondée sur des mesures (indiquées, avec le détail des calculs), mais qui admet toutefois explicitement l’imprécision de la procédure (par exemple : les deux rectangles ont la même aire, on l’a vérifié avec nos mesures)
  ou réponse fondée sur des découpages et superpositions (avec le dessin des pièces) qui admet que la réponse dépend de la précision des découpages (l’équivalence peut être acceptée ou niée)
• 2 points: Réponse fondée sur des mesures avec le détail des calculs et cohérente avec les résultats obtenus sans se rendre compte que la réponse dépend des approximations (l’équivalence peut être acceptée ou niée)
  ou réponse fondée sur des découpages et superpositions (avec le dessin des pièces) sans se rendre compte que la réponse dépend des approximations (l’équivalence peut être acceptée ou niée)
• 1 point: Réponse correcte (les deux rectangles ont la même aire) sans aucune explication
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou réponse incorrecte sans explication

Procédures, obstacles et erreurs relevés

L'examen des copies de six sections a permis d'identifier plusieurs types de réponses :

A1. Réponses « oui les deux rectangles ont la même aire » par raisonnement générique avec explications « complètes »

Le déplacement des triangles de chaque figure est indiqué par une flèche, ou des couleurs, ou par découpage et collage. Les explications littérales, lorsqu’elles figurent font appel à des expressions comme « déplacé», « enlever et remettre », « découpage de ce qui dépasse et remise de l’autre côté », mais souvent formulées maladroitement.

L’égalité du rectangle et du parallélogramme est implicite dans la description du déplacement ou explicitée par des expressions comme : même aire déplacée ; remettre la même surface à un autre endroit ; se superposent exactement ; aucun bout n’a été enlevé ou rajouté, il a juste été déplacé… ; les triangles s’emboîtent parfaitement ; …

La transitivité s’exprime par de petites phrases comme : vu qu’on est parti du même paralléogramme ; sachant que c’est le même parallélogramme pour les deux … ; les deux rectangles ont la même aire que le parallélogramme de départ ; étant donné que A et B utilisent le même parallélogramme de départ et coupent seulement des bouts pour les déplacer, l’aire ne change pas ; …

A2. Réponses « oui les deux rectangles ont la même aire » par raisonnement générique avec explications où la transitivité n’est pas affirmée explicitement ou des confusions subsistent.

A3. Réponses « oui les deux rectangles ont la même aire » sans explications, ou en référence à des manipulations, ou à des comparaisons de côtés.

Exemple: - Les deux rectangles ont la même aire car on a découpé les deux rectangles en pointillés puis les avons superposés et découpé et nous avons remarqué qu’ils avaient la même aire ...

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