Des pailles en carrés

Identification

Rallye: 25.F.03 ; catégories: 3, 4 ; domaine: GP
Familles:

• GEN - Générer et tester des solutions (partielles) possibles
• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire

Remarque et suggestion

Résumé

À partir de 29 segments isométriques, construire un assemblage de carrés qui comporte le plus grand nombre possible de carrés, chacun ayant un segment pour côté.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori (qui s'est révélée insuffisante au vu des résultats obtenus)

- Comprendre que les carrés doivent tous avoir la même longueur de côté, c’est-à dire une paille pour côté et pas d’extrémité de paille isolée.

- Comprendre que les cinq carrés d’Alice sont séparés les uns des autres (de 20 : 4 = 5 ou 4 x 5 = 20) et que pour arriver à sept carrés, Bruno n’a pas formé des carrés séparés les uns des autres car il aurait alors eu besoin de 28 pailles. Il a dû former des carrés avec des côtés en commun pour « économiser » des pailles et se représenter la disposition des pailles. ( Ce "subterfuge" n'et pas accessible à de jeunes élèves)

- Avec 29 pailles, comprendre que, comme avec 20 pailles, toutes doivent être utilisées pour arriver au maximum de carrés et par conséquent que les carrés doivent avoir des côtés communs avec d’autres carrés)

- Procéder par essais et continuer d’assembler des carrés de sorte que certains d’entre eux aient plus d’un côté en commun avec d’autres carrés pour obtenir un arrangement optimal de 11 carrés dans la configuration suivante :

Notions mathématiques

carré

Résultats

25.F.03

Points attribués, sur 25 classes de 16 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (11 carrés) avec le dessin correct d’une configuration possible
• 3 points: Réponse « 10 carrés », avec le dessin d’une configuration possible utilisant les 29 pailles sans extrémité de paille isolée et sans compter de carré incomplet
• 2 points: Réponse 9 carrés avec le dessin d’une configuration possible utilisant les 29 pailles isolées, sans extrémité de paille isolée et sans compter de carré incomplet
  ou réponse “carrés” ou “10 carrés”, avec 30 ou 28 pailles sans laisser de pailles isolées (c’est-à-dire qui ne complètent pas un carré) ni carré incomplet
• 1 point: Réponse 8 ou 9 carrés avec un dessin d’une configuration possible utilisant les 29 pailles (y compris des carrés non adjacents)
  ou réponse 8 ou 9 carrés avec une erreur d’un paille en plus ou en moins, sans paille isolée ni carré incomplet
• 0 point: Incompréhension du problème ou simple identification de la configuration avec 20 pailles et 7 carrés

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Il est évident, comme le signale le tableau des résultats, que les élèves de catégories 3 ou 4, même en groupes, ne peuvent pas s'approprier le problème. Une majorité des réponses est 7 carrés car lorsqu'on divise 29 par 4 on trouve 7 et il reste 1.

Une nouvelle version de l'énoncé, Carrés d'allumettes, présentant des exemples, permet aux élèves de comprendre les intentions des auteurs du problème qui pensaient que les élèves découvriraient par eux-mêmes que plusieurs carrés pouvaient avoir des côtés en commun.

Exploitations didactiques

Si l'on souhaite reprendre le problème, il faut l'accompagner d'un dessin qui explique ce que les auteurs de l'énoncé évoquent par l'expression: de manière plus astucieuse. Par exemple, proposer simplement un dessin de deux carrés réalisés avec 7 allumettes pour que les élèves comprennent que certaines allumettes peuvent appartenir à plusieurs carrés.

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