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Le jeu d’Yvan

Rallye: 20.I.03 ; catégories: 3, 4 ; domaine: GP
Familles:

Placer sur une grille de 4 × 10 un nombre maximal de pentominos en forme de Y

Extrait de l'analyse a priori:

Essayer de placer les pièces de manière « économique » (pour éviter les espaces vides) et se rendre compte qu’il est très facile d’en placer 6. Si par exemple on les assemble par deux, on peut placer côte à côte trois rectangles de 3 x 4 (fig. 1).

Poursuivre les essais jusqu’à pouvoir placer une septième pièce, éventuellement avec une face blanche (fig. 2) et à obtenir toutes les pièces avec une face grise, (fig. 3) par dessins ou par découpages.
Les recherches peuvent être stimulées par le comptage des carrés. 40 carrés de la grille permettraient au maximum de placer 8 pièces de 5 carrés chacune. Avec 6 pièces, 10 carrés ne sont pas recouverts, ce qui incite à chercher le moyen de placer une 7e pièce. Mais la forme ne permet pas de recouvrir toute la grille et que 5 carrés resteront vides (fig 2 et fig 3)

Une méthode efficace consiste à découper 8 pièces et de chercher à les placer.

pavage, isométries, orientation, symétrie axiale

Points attribués sur 903 classes de 20 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 3	166 (43%)	81 (21%)	73 (19%)	50 (13%)	17 (4%)	387	1.15
Cat 4	158 (31%)	137 (27%)	118 (23%)	71 (14%)	31 (6%)	515	1.38
Total	324 (36%)	218 (24%)	191 (21%)	121 (13%)	48 (5%)	902	1.28
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: 7 pièces dessinées ou collées, distinctement, faces grises visibles (respectant l’orientation du « Y » )
3 points: 7 pièces dessinées ou collées mais avec une face blanche
ou 6 pièces dessinées ou collées avec la face grise visible
2 points: 7 pièces dessinées ou collées, avec plus d’une face blanche
ou 6 pièces dessinées ou collées avec une seule face blanche
1 point: 5 pièces dessinées correctement avec face grise visible
ou 6 sans tenir compte de la couleur
0 point: Les pièces se superposent ou ne recouvrent pas 5 carrés (dépassement de la grille)
ou incompréhension du problème

Le problème se révèle assez difficile.

Il serait très intéressant de mieux situer les difficultés et d’identifier celle de « l’orientation » en examinant des copies.

On peut aussi reprendre le problème sans l’orientation, (Pentamimos 2.II.8) avec une autre pièce, ayant un axe de symétrie.