Comparaison de figures

Identificazione

Rally: 26.I.12 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: GP
Famiglie:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Remarque et suggestion

Sunto

Comparer les aires de trois polygones (de 5 à 6 côtés) dont tous les sommets sont sur des nœuds d’un quadrillage.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Comprendre, à la lecture de la question et à l’observation des figures que pour comparer les aires, il s’agit de déterminer la mesure de chacune des trois aires, avec une unité commune.

Constater que les trois figures ne sont ni des rectangles, ni des triangles pour lesquels on dispose de formules; que la présence du quadrillage permet d’utiliser le carreau comme unité commune; qu’il faudra soit compter les carreaux après avoir regroupé les parties non entières pour former des carreaux entiers, soit décomposer les figures en rectangles, triangles ou demi-rectangles dont on pourra facilement calculer la mesure de l'aire.

Les procédures de détermination de l’aire sont multiples, et différentes d’une figure à l’autre :

• comptage une à une des unités entières, puis reconstitution d’unités par déplacements des parties non entières,
• décomposition de la figure en rectangles et triangles rectangles qui sont des demi-rectangles
• décomposition de la figure triangles non rectangles non obtus qui peuvent ensuite être décomposés en deux triangles rectangles,
• construire un rectangle circonscrit à la figure totale et soustraire de son aire celles des rectangles et/ou triangles complémentaires,
• faire appel aux formules de l'aire lorsque les décompositions précédentes donnent des triangles dont une "base" et la "hauteur" correspondante suivent le quadrillage et ont des mesures entières de leurs longueurs/ou des rectangles dont les côtés suivent les lignes du quadrillage.

Trouver l’aire des trois figures, en carreaux, par exemple :

• Pour A : un rectangle de 6 × 7 dont on retire quatre triangles de 5 × 1, de 6 × 1, de 6 × 3 de 5 × 2 et un rectangle de 2 × 1: 42 – 2,5 –3 – 9 – 5 – 2 = 20,5.
• Pour B : un rectangle de 6 × 2 et un triangle de 6 × 3 : 12 + 9 = 21 ou compensations de carreaux pour le triangle.
• Pour C : décomposition en un rectangle et trois triangles. 6 + 2 + 10 + 3 = 21

Conclure que les trois aires ne sont pas égales : 20,5 ; 21 et 21 (en carrés du quadrillage).

En cas de calcul des aires à partir de mesures prises, en cm ou mm, sur les polygones qui composent les figures, il faut être conscient que l'imprécision des mesures ne permettra pas d'affirmer que les aires sont égales ou différentes car les résultats obtenus ne seront que des approximations.

Nozioni matematiche

polygone, quadrillage, aire, mesure, décomposition, addition, soustraction, formule,

Risultati

26.I.12

Points attribués, sur 3265 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte : les trois aires ne sont pas égales A : 20,5 ; B : 21 et C : 21 (en carreaux du quadrillage). On accepte que l’inégalité ne soit pas mentionnée explicitement ; mais pour chacune des aires la description des calculs ou des comptages est nécessaire. (En cas de mesures en cm ou mm, l’inégalité ou l’égalité des aires doivent être accompagnées de calculs précis tenant compte explicitement des erreurs d’approximation.)
• 3 points: Réponse correcte, avec les trois aires trouvées, mais avec le détail des calculs seulement pour une ou deux d’entre elles
  oppure aires correctes pour deux des aires et erreur sur la troisième, avec détail des calculs
  oppure aires calculées d’après des mesures correctes au mm, sans mention explicite des erreurs dues aux approximations
• 2 points: Réponse correcte, avec les trois aires trouvées, sans le détail des calculs
  oppure aire correcte pour une seule des trois aires, et une seule erreur pour chacune des deux autres, chaque fois avec le détail des calculs
  oppure réponse correcte avec le calcul détaillé pour deux aires, mais le calcul de la troisième n’a pas été abordé ou contient des erreurs
  oppure réponse erronée (les aires des trois polygones sont égales) due à des erreurs de calcul dans la détermination de l’aire de A, avec le détail des opérations
• 1 point: Seulement l’aire d’une ou deux des trois figures est trouvée, sans détails
  oppure aires approximatives à partir de mesures prises sur les polygones qui composent les figures
• 0 point: Incompréhension du problème

Le critère "0 point: Incompréhension du problème" aurait dû être accompagnée d'un complément: "ou essais n'aboutissant à aucune des aires attendues". En effet, l'observation des copies a posteriori a montré qu'il ne s'agit que très rarement d'une "incompréhension du problème" mais de tentatives de déterminer les aires sans arriver à en trouver une seule correcte, non seulement à la suite d'erreurs de comptage des carrés mais à cause de procédures inadéquates (insuffisances dans les regroupements, décompositions approximatives, ...). Il n'y a que de très rares copies blanches.

Les moyennes obtenues peuvent sembler faibles mais il faut tenir compte que les points attribués dépendent de l'ensemble de la tâche: la recherche des aires des trois figures. Ce qui signifie, par exemple, que 39% (6 + 18 + 15) des groupes ont trouvé deux ou trois des aires, 28% n'en ont trouvé qu'une seule et 34 % ont commis trop d'erreurs et n'ont trouvé aucune aire correcte.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

L'analyse a posteriori approfondie d'environ 350 copies de quatre sections a permis d'observer trois procédures principales:

Comptage unité par unité après regroupement des parties de carrés

Cette procédure est la plus fréquente parmi les classes de sixième arrivées aux trois aires correctes, mais aussi parmi les autres qui n’ont trouvé qu’une ou deux aires ou encore qui n’ont pas maîtrisé le comptage.

Les (rares) copies qui aboutissent aux aires A = 20,5 ; B = C = 21 (en carrés du quadrillage) ou à des réponse voisines comprises entre 20 et 22 portent en général des traces du comptage et des regroupements : numéros ou marques au sein des carrés, flèches, correspondance de couleurs. (Voir figure 1)

La difficulté principale de cette procédure se situe dans les regroupements: la reconstitution de carrés exige une analyse visuelle fine des différentes parties. Elle fait intervenir la reconnaissance des déplacements effectués comme étant des isométries, même si elle reste implicite : translations, symétries centrales, rotations.

Décomposition en triangles et rectangles

Pour éviter le comptage un à un des unités d’aires, une partie des groupes ont décomposé les polygones en rectangles, triangles et parfois trapèzes (pour la figure C).

Pour être efficace, la décomposition est soumise à une condition : certains côtés des nouvelles figures doivent suivre les lignes du quadrillage, d’un nœud à un autre, afin qu’on puisse déterminer leurs longueurs exactement, en unités qui sont des côtés des carrés du quadrillage.

Pour le polygone A, la décomposition en triangles dont la longueur de certains côtés est déterminée par le quadrillage n’est pas possible. Il faut passer d’une décomposition additive de l’aire du polygone à une décomposition « soustractive » à partir de son rectangle circonscrit dont on va retirer des triangles complémentaires ayant un côté sur les lignes du quadrillage. Il s’agit d’un saut épistémologique qui mérite d’être signalé car il confirme ce qui a déjà été observé lors de l’analyse a posteriori d’autres problèmes de la même famille de tâches.

(Voir figure 2 qui, au-delà des décompositions, montre une grande maîtrise de toutes les connaissances exigées pour la résolution du problème)

Décomposition en triangles et rectangles puis prise de mesures en cm et mm et calculs à l'aide des formules

D’une façon générale, les procédures par mesurage n’ont que très rarement donné des résultats acceptables (même en tenant compte de l’impossibilité de comparer ainsi les aires des trois polygones) en raison des grosses imprécisions dans la prise des mesures, des choix inadéquats de la base et de la hauteur des triangles et des applications erronées de la formule (b × h) / 2.

Ces tentatives de mesurages révèlent plusieurs types d'obstacle.

Le premier, que l'on pourrait qualifier de "didactique" semble venir de pratiques ou d'habitudes scolaires: ces groupes d'élèves ne se posent pas la question de l'unité qui, selon eux, est obligatoirement le centimètre carré, et pensent que des comparaisons d'aires exigent des "calculs" correspondant à des formules à partir de mesures prises à la règle graduée, en cm.

Le second est la perception imprécise des segments à mesurer pour calculer l'aire d'un triangle lorsque l'énoncé du problème ne les propose pas explicitement. Il est lié à des images insuffisantes qui persistent dans l'esprit de nombreux élèves: la "base" est le plus long côté ou celui qui est "horizontal", la "hauteur" se mesure verticalement le long d'un segment à l'intérieur du triangle, ...

Le troisième est d'ordre conceptuel et concerne l'intervalle dans lequel se situe une mesure prise à la règle graduée: les nombres lus sur la règle sont des nombres considérée comme bien déterminés, nombres entiers de cm ou de mm, mais ils ne peuvent pas encore être conçus comme « nombres réels » par des élèves des catégories concernées (de 12 à 15 ans)

Ces obstacles à propos du mesurage sont visibles à l'examen des copies d'élèves de tous les problème où interviennent les déterminations de l'aire, en particulier ceux de la famille CA - Comparer des aires.

Pour plus de détails, voir article en bibliographie.

Indicazioni didattiche

La richesse et la variété des procédures, erreurs et obstacles offrent de multiples suggestions d'exploitation de ce problème en classe afin de revoir et approfondir toutes les étapes de la construction du concept d'aire:

- la perception de la "grandeur" aire et sa distinction de la "grandeur" longueur; le nécessité de choisir une unité d'aire qui soit la même pour toutes les figures,

- l'organisation du comptage et des regroupements de parties d'unité,

- la nécessité de décomposer les figures complexes en figures élémentaires au cas où les comptage et regroupements d'unités sont trop complexes,

- "l'additivité" des aires qui peut s'étendre à la "soustractivité" lorsqu'on encadre la figure dans un rectangle circonscrit,

- la maîtrise des formules de l'aire du rectangle mais aussi du triangle, la perception qu'un triangle est un demi-parallélogramme qui est-lui même équivalent à un rectangle,

- la totale inadéquation des tentatives de mesurage en cm,...

Bibliografia

Jaquet, F. (2018). Aires de polygones sur quadrillage. La Gazette de Transalpie / Gazzetta di Transalpino No.8 http://www.armtint.org/fr/le-gazzette-di-transalpino/numero-8/finish/33-la-gazzetta-n-8-articoli-la-gazette-n-8-articles/1108-08-aree-di-poligoni

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