La table du grand-père

Identification

Rallye: 27.F.19 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage

Remarque et suggestion

Résumé

Étant donné un quadrillage de 23 × 23 carrés unités, avec un début de pavage par des polygones clairs et foncés (des rectangles foncés d’aire 4 carrés unités, un carré unité foncé et des trapèzes clairs d’aires 2 et 1,5 carrés unités), comparer les aires des parties claires et foncées en imaginant de compléter le pavage.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Observer la figure ; reconnaître qu’il s’agit d’un motif régulier qui se répète sur un quadrillage de 23 × 23, dont les côtés ont un motif différent.

- Compléter la figure puis compter 36 et 25 petits carrés et 60 polygones (octogones) pour placer les 60 rectangles d’aire 4 chacun. Trouver que l’aire foncée est de 301 carrés unité, donc supérieure à l’aire des pièces blanches qui mesure 23 × 23 – 301 = 228 carrés unité.

Ou

- Observer que la décoration est composée de polygones clairs et foncés, déterminer leurs aires en utilisant comme unité le carré du quadrillage et les compter de façon à trouver les aires totales claires et foncées. Une observation précise permet d’identifier des rectangles R (aire 4), des carrés Q (aire 1) foncés ; des trapèzes T1 (d’aire 1,5) et des trapèzes T2 (aire 2) clairs, ces derniers n’étant présents que sur les côtés.

Il y a différentes manières de déterminer les mesures des aires foncées et claires, regroupées par motifs (octogones, triangles, carrés, trapèzes). Par exemple :

- Compter le nombre d’octogones qui contiennent un rectangle noir, le nombre de carrés noirs et le nombre de trapèzes T2. : il y en a 6 par côté de la table, soit 24 au total représentant 48 carrés unités.

- Pour dénombrer les octogones, on peut remarquer que la première ligne en contient 5 et la deuxième, une fois complétée, en aura 6. Il y a donc 11 octogones pour ce motif qui se répète 5 fois sur 21 carreaux en hauteur, et il reste une ligne de 5 octogones sur les trois derniers carreaux, ce qui fait 60 octogones. On compte aussi 61 carrés unité (11 × 5 + 6 = 61).

- Conclure que la partie foncée a une aire de 301 (4 × 60 + 61) et la partie claire a une aire de 228 (2 × 1,5 × 60 + 2 × 24).

Ou

- Remarquer que dans l’ensemble des octogones, l’aire foncée des rectangles équivalente à celle de 4 carreaux est supérieure à l’aire claire des deux trapèzes T1 équivalente à 3 carreaux unités, et donc l’ensemble de la partie foncée des octogones dépasse la partie claire de 60 unités, alors que l’aire claire des trapèzes T2 est seulement de 48 carrés unités. Conclure que la partie foncée a une aire supérieure à celle de la partie claire.

Notions mathématiques

pavage, aire, polygone, unité

Résultats

27.F.19

Points attribués sur 53 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (la surface de bois foncé est la plus grande) avec un dessin complet et détermination de l’aire par comptage des 301 unités, ou la description claire et détaillée de la procédure suivie et des calculs effectués
• 3 points: Réponse correcte avec un dessin complet sans le comptage des 301 unités, ou avec des explications incomplètes ou peu claires (par exemple les calculs sont donnés mais il n’est pas dit comment le comptage a été effectué)
• 2 points: Dessin incomplet, mais montrant une procédure correcte
  ou raisonnement correct mais procédure contenant une erreur de calcul, avec une réponse correcte ou erronée
• 1 point: Début de raisonnement et de comptage correct ou réponse sans explication
• 0 point: Incompréhension du problème

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