Banca di problemi del RMT
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Comparer les aires de deux figures composées de triangles et rectangles, dont tous les sommets sont sur des intersections d’un quadrillage de base.
- Au cours de la tâche d'appropriation, il faut se rendre compte que pour répondre à la question, il faudra déterminer les mesures de chacune des aires des parties grises, car les procédures par compensation ne permettent pas d'aller au-delà des carrés et des rectangles. Le carré du quadrillage s'impose naturellement comme unité d'aire (u), mais que les procédures de comptage ou de recouvrement sont inadéquates parce qu'on ne peut pas recouvrir les triangles avec des carrés entiers.
La tâche de détermination des aires se décompose en plusieurs étapes. Par exemple:
- Mesurer les aires des triangles rectangles en les considérant comme moitié de rectangles (divisés par deux selon une diagonale). Les deux triangles rectangles de la fusée sont des demi-rectangles de 2 × 3 et ont une aire de 3 u.
- Décomposer les grands pétales de la fleur et de la pointe de la fusée en deux triangles rectangles de 1 × 2 dont l’aire mesure 1 u ou voir que ces deux triangles rectangles occupent la moitié d’un carré 2 × 2 dans lequel ils sont inscrits et que leur aire mesure donc 2 u.
- Élaborer une stratégie plus complexe pour les petits pétales, les feuilles de la fleur et les pieds de la fusée et considérer les rectangles dans lesquels sont inscrits les triangles (gris) dont l'aire sera obtenue par soustraction de parties blanches (triangles rectangles) à partir de l'aire du rectangle. Exemple : chaque feuille de la fleur peut être divisée en deux parties, inscrites dans des rectangles de 2 × 3 et de 2 × 4. Il faut éliminer des triangles rectangles blancs de 2 × 3 et de 1 × 2, et, respectivement de 2 × 4 et de 2 × 2, pour arriver à des mesures d'aire égales à 2 u (6 – 3 – 1 et 8 – 4 – 2).
- Calculer les mesures des aires des deux figures par addition. Pour la fleur : 4 + 4 × 2 + 4 × 1,5 + 4 × 2 = 26 (u) et pour la fusée : 2 + 12 + 2 × 3 + 2 × 4 = 28 (u). Conclure que la partie grise de la fusée est plus grande que celle de la fleur.
Il y a évidemment de nombreuses autres modalités de décomposition des figures ou de recomposition puis d’organisation des calculs. Il faut savoir décomposer les figures en triangles rectangles et déterminer leurs aires par comptage ou calcul de l'aire de demi-rectangles. Pour certaines parties qui ne peuvent pas se décomposer en triangles rectangles, il faut savoir les inscrire dans des rectangles et travailler par soustraction d'aires: celles des triangles rectangles complémentaires à l'intérieur des rectangles circonscrits. La « formule » de l'aire du triangle, n'est pas utile ici parce que les mesures des "bases" et "hauteurs" des triangles non rectangles ne peuvent pas être déterminées par des parties entières des côtés du quadrillage.
aire, triangle, rectangle, décomposition d’une figure, polygone, quadrillage, unité d’aire, soustraction d'aires, rectangle circonscrit,
Points attribués, sur 2170 copies de 20 sections:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 385 (44%) | 267 (30%) | 142 (16%) | 58 (7%) | 24 (3%) | 876 | 0.94 |
| Cat 7 | 267 (37%) | 254 (35%) | 125 (17%) | 51 (7%) | 32 (4%) | 729 | 1.08 |
| Cat 8 | 224 (40%) | 150 (27%) | 85 (15%) | 60 (11%) | 46 (8%) | 565 | 1.21 |
| Totale | 876 (40%) | 671 (31%) | 352 (16%) | 169 (8%) | 102 (5%) | 2170 | 1.06 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Malgré la progression de la moyenne de 0,8 à 1,2 point de la catégorie 6 à la catégorie 8, la réussite moyenne reste faible. Les observations suivantes sont tirées de l'analyse des copies de Suisse romande (146 : 56 en cat.6, 51 en cat. 7 et 39 en cat.8)
1. La tâche de résolution
Cette tâche est longue et demande beaucoup de précision. Les critères d’attribution des points sont « exigeants » et il ne faut donc pas se limiter à l'interprétation des moyennes de points attribués. Il y a beaucoup de figures (1 carré, 1 rectangle, 5 à 6 types de triangles différents dépendant de la décomposition de la partie centrale de la fusée). Une petite erreur sur l’une de ces figures entraîne une pénalisation d’un point comme une explication jugée non suffisante entraîne aussi une pénalisation d’un point et on peut arriver à des solutions presque entièrement correctes auxquelles ne sont attribués que 2 points
2. Les procédures
Il y une très grande variété de procédures utilisées dans la détermination des aires, qui sont difficiles à regrouper, vu qu’elles peuvent encore varier d’une figure à l’autre. On peut toutefois identifier quelques grandes catégories très générales:
- Certaines explications parlent de découpages et de recompositions : On coupe les formes dures à calculer pour en faire des plus faciles (Cat 6). On doit enlever des morceaux un peu partout pour les reposer quelque part pour qu’ils donnent un carré ou un rectangle (Cat 6)). Parfois elles sont accompagnées d’un schéma, parfois, il n’y a qu’une somme des mesures déterminées, parfois des couleurs précisent la relation entre une partie de figure et la mesure de son aire, …
D’autres explications ne mentionnent pas les découpages, recompositions ou compensations mais on peut être à peu près certain qu’ils ont été effectués. Sur ces copies, ne sont mentionnées que des mesures d’aires partielles à proximité des parties de figures ou marquées par des couleurs et des sommes pour déterminer l’aire totale.
On trouve des procédures par « soustraction » de demi-carrés (triangles). La figure est inscrite dans un carré ou rectangle dont on retire certaines parties. Ces procédures sont efficaces, mais rares.
Exemple: Nous avons d’abord calculé l’aire du carré autour de la fleur. On a soustrait les parties blanches. 6 × 6 = 36 carrés 36 – 2 carrés (4 coins) = 34 34 – (8 × 2) = 18 carrés (8 × 2 reste parties blanches)
- Dénombrement progressif carré par carré Exemple (Cat 6)
Exemple (Cat 6) Dans chaque figure les élèves compte progressivement les carrés entiers, puis ceux qui sont recomposés. Pour la fleur, quelques problèmes de notation avec les 13,5, 14,5, 15, 5 et 16, 5 rectifiés par l’addition 16 + 2 = 18, pour les feuilles, les choses vont moins bien et conduisent à 3,95 difficile à interpréter, au lieu de 4. Pour la fusée les regroupements sont corrects mais c’est le placement inadéquat du « 16 » dans la partie de droite de la base qui entraîne l’erreur dans le décompte final.
- Comparaisons directes Les pièces de la fleur sont reportées sur la fusée. (Cette procédure n’aboutit pas en général pas à une aire précise dans les copies examinées en raison des dimensions de certains triangles).
L’exemple suivant (Cat 7) donne une bonne approximation, mais un examen détaillé fait apparaître de nombreuses imprécisions.
- Mesurage des côtés des pièces et calculs d’aire Cette procédure est inadéquate car elle ne permet pas de décider laquelle des deux figures a l'aire la plus grande en raison de l'imprécision des mesures. EOn les rencontre le plus fréquemment en catégories 7 et 8 où la formule de l'aire du triangle est plus souvent rencontrée qu’en catégorie 6.
Les élèves qui maîtrisent cette formule, ne font aucune erreur de calcul et prennent les mesures avec une grande précision aboutissent à des résultats approchés en raison des quatre pétales des angles de la fleur, qui sont des triangles dont aucun côté ne suit le quadrillage, ou d’autres mesures de côtés qui ne sont pas des nombres entiers.
3. Les obstacles
Le conflit "aire-périmètre" est surmonté. Sur toutes les copies examinées on ne compte que deux cas où les périmètres ont été pris en compte plutôt que les aires.
La détermination des aires des carrés et rectangles des figures proposées ne présente plus d’obstacles pour tous les degrés. En carrés unités, on observe des réponses sans notation d’opération (comptages) ou des écritures multiplicatives (2 × 2, 2 × 6, …) En unités usuelles (cm2), les écritures des opérations sont plus fréquentes.
La détermination des aires des triangles isocèles inscrits dans un carré de 2 x 2 (tête de la fusée et quatre pétales de la fleur) est correcte dans la grande majorité des copies. En unités usuelles, la « base » et la « hauteur » sont les deux de 1 cm et la formule est appliquée correctement. Pour les triangles rectangles qui peuvent apparaître dans la décomposition de la base de la fusée (2 × 3) on ne relève pas de difficultés dans les copies observées
Les difficultés apparaissent pour les triangles avec un angle obtus et un côté sur le quadrillage (feuilles de la fleur et ailerons de la fusée) ainsi qu’avec les triangles sans côtés sur le quadrillage (petits pétales). Pour ces figures, la méthode par décomposition et recomposition après déplacements, ne peut être qu’approximative (sauf pour les petits pétales où nous avons trouvé une seule recomposition exacte). Les élèves décomposent les triangles selon les lignes du quadrillage et cherchent à les replacer pour former un rectangle mais les pièces de ces puzzles ne permettent pas la reconstitution, (et elles sont trop petites pour se rendre compte des erreurs).
Il s’agit d'un obstacle qui ne pourra être surmonté qu'en passant d'une procédure "additive" où les parties sont recomposées par juxtaposition à une procédure "soustractive" où la figure est inscrite dans un rectangle, dont les parties complémentaires à la figure sont elles-mêmes des triangles ayant des côtés communs avec ceux du rectangle. L'aire de la figure se calcule par soustraction de l'aire de ces triangles complémentaires à celle de l'aire du rectangle. On a passé ici du stade de la "manipulation" à celui d'une opération mentale sur les mesures.
Par exemple sur la figure suivante: l'aire du triangle inscrit se calcule par «soustraction» de celles des trois triangles du rectangle circonscrit.
Un autre obstacle est celui des approximations lors des mesures suivies de calculs d’aires, déjà souvent rencontré : les élèves ne sont pas conscients que les résultats de leurs mesurages ne sont pas des nombres bien déterminés mais correspondent à des intervalles.
Ce problème permet de revenir sur quelques concepts fondamentaux nécessaires à la détermination des aires du quadrillage:
- La distinction entre les grandeurs en jeu: la longueur et l'aire
- Le nécessité de choisir une unité « naturelle » le carré du quadrillage et d'abandonner l'envie de mesurer les dimensions sur les figures, qui ne permettent pas de déterminer l'aire avec une précision suffisante et qui, en outre, conduisent à des calculs fastidieux et font intervenir des nombres irrationnels.
- La nécessité de découpages en figures "élémentaires" (triangles, rectangles, trapèzes ...) dont les mesures des côtés ou hauteurs sont déterminées précisément par le quadrillage.
- La détermination des aires de ces figures élémentaires à partir du rectangle (équivalence entre rectangle et parallélogramme, les triangles ou les losanges sont des demi-parallélogrammes ... ) pour donner un sens aux "formules".
- Les isométries qui interviennent lors des déplacements des parties de figures pour les recompositions en figures avec des nombres entiers de carrés du quadrillage pour les comparaisons de côtés.
- Les comparaisons de longueurs de côtés et de diagonales qui conduisent à des mesures décimales ou irrationnelles.
- Des activités de mesurage où les limites de la précision sont prises en compte, puis calculs des aires correspondante avec les limites inférieures, puis supérieures des "mesures" prises, afin d'observer l'ampleur des écarts entre les limites des aires trouvées.
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