Rectangles de papier quadrillé (I)

Identification

Rallye: 29.I.04 ; catégories: 3, 4 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires

Remarque et suggestion

Résumé

Comparer les aires de deux rectangles de papier quadrillé, déformés et présentés par deux photos, dont l’un est constitué de carreaux entiers et l’autre a deux côtés opposés formée de carrés non entiers.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

Comprendre la situation : les deux rectangles ont été découpés dans le même rouleau donc ils ont le même quadrillage, il faut établir lequel des deux rectangles a la plus grande surface, à savoir celui qui contient le plus grand nombre de carrés.

Observer les deux rectangles et se rendre compte que :

- dans le rectangle d’Enrico, il y a à la fois des carrés entiers et des « parties » de carrés (sur deux de ses bords);

- dans le rectangle de Giulia, il n'y a que des carrés entiers.

Compter les carrés entiers en utilisant la stratégie la plus pratique, par exemple compter tous les carrés un par un (une procédure longue et pénible avec un risque élevé d'erreurs de comptage)

Ou: comprendre que toutes les lignes (et toutes les colonnes) ont le même nombre de carrés entiers. Ensuite, compter les carrés entiers qui sont sur une ligne (13 pour le rectangle d’Enrico et 11 pour celui de Giulia) et sur une colonne (8 pour le rectangle d’Enrico et 10 pour celui de Giulia) et puis trouver le nombre de tous les carrés entiers en multipliant les deux nombres obtenus pour chacun des deux rectangles : 13 × 8 = 104 (Enrico) et 10 × 11 = 110 (Giulia) (ou déterminer le nombre de carrés par des additions répétés du nombre de carrés sur les lignes ou sur les colonnes).

- Constater alors que le rectangle de Giulia a 6 carrés entiers de plus que celui d’Enrico et se rappeler cependant que Enrico a aussi des parties de carrés à ajouter aux 104 carrés entiers.

- Observer qu’il y a 13 « parties » de carrés sur la ligne supérieure et 13 sur la ligne inférieure et chercher à les regrouper pour former des carrés entiers. Par exemple, supposer qu’un carré est formé de deux « parties » ; dans ce cas, toutes les parties ensemble forment environ 13 carrés ; le rectangle d’Enrico a une superficie d’environ 117 (104 + 13) carrés, donc Enrico a utilisé plus de papier que Giulia.

Ou : supposer qu’un carré est formé de trois « parties » ; dans ce cas toutes les parties forment ensemble plus de 8 carrés. Donc le rectangle d’Enrico a plus de 112 (104 + 8) carrés. Ce qui confirme qu’Enrico a utilisé plus de papier que Giulia.

Ou : Supposer qu’un carré est formé de quatre « parties » ; dans ce cas toutes les parties forment ensemble plus de 6 carrés. Donc le rectangle d’Enrico a plus de 110 (104 + 6) carrés. Et dans ce cas encore, Enrico a utilisé plus de papier que Giulia.

Ou : Découper ou dessiner les deux rectangles sur papier quadrillé, correspondant visuellement, aux deux photos de l’énoncé, mesure leurs dimensions et calculer leur aire.

Notions mathématiques

aire, rectangle, quadrillage, approximation, mesure, longueur

Résultats

29.I.04

Points attribués sur 1224 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte "Giulia a utilisé moins de papier" (ou une autre formulation ayant le même sens), avec une explication claire et complète de la stratégie adoptée et/ou tous les calculs nécessaires
• 3 points: Réponse "Giulia a utilisé moins de papier" avec explication peu claire et/ou manque d'un passage ou d'un calcul
• 2 points: Réponse "Giulia a utilisé moins de papier", mais avec des erreurs de comptage et / ou de calcul
  ou réponse incorrecte due à des erreurs de comptage ou de calcul, mais procédure correcte (par exemple considérer le rectangle de Giulia 10 x 10 en considérant le fait que les dimensions semblent égales à première vue)
• 1 point: Réponse "Giulia a utilisé moins de papier", sans explication
  ou début de recherche cohérente, par exemple seuls les carrés entiers ont été comptés
  ou réponse "Giulia a utilisé plus de papier" motivée par le fait que seuls les carrés entiers ont été comptés.
• 0 point: Incompréhension du problème (par exemple des affirmations qui indiquent des confusions entre l’aire et le périmètre, ou calculs à partir des dimensions prises sur les photos)

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