Les plates bandes de l'école

Identification

Rallye: 29.II.02 ; catégories: 3, 4 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Remarque et suggestion

Résumé

Comparer les périmètres de quatre polygones de même aire, dessinés sur une grille, dont les côtés suivent les lignes du quadrillage ou sont des diagonales de ses carrés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que les barrières sont construites sur les « bords » des figures et correspondent aux périmètres des quatre polygones.

- Se rendre compte que les côtés des carrés et les diagonales des carrés ont des longueurs différentes.

- Constater que la longueur des diagonales du quadrillage est supérieure à celle des côtés du quadrillage.

- Compter les segments qui forment le périmètre de chaque figure A : 4 diagonales + 8 côtés B : 12 côtés C : 2 diagonales + 10 côtés D : 2 diagonales + 8 côtés

- Comparer deux à deux les périmètres en les décomposant en nombres de côtés et nombres de diagonales puis en déterminant les « différences » et en retirant ce qui est commun aux deux périmètres :

A > B car après le retrait de 8 côtés, il reste à comparer 4 diagonales et 4 côtés

A > C car après le retrait de 8 côtés et 2 diagonales, il reste à comparer 2 diagonales et 2 côtés

A > D car après le retrait de 8 côtés et 2 diagonales il reste 2 diagonales de plus pour A

D < B car après le retrait de 8 côtés, il reste à comparer 2 diagonales avec 4 côtés

(Cette comparaison est moins évidente que les précédentes. Pour décider on peut penser à visualiser deux segments : l’un de 4 quatre côtés et l’autre de 2 diagonales (comme ceux de la figure C par exemple) D < C car après le retrait de 8 côtés et 2 diagonales, il reste 2 côtés de plus pour C.

Ces comparaisons permettent d’affirmer que la barrière la plus longue est celle de A et la plus courte est celle de D

Ou, mesurer à la règle les segments qui constituent les périmètres des polygones et les additionner pour arriver aux mêmes conclusions. (Cette méthode exige des mesures à 1 ou 2 mm près et des additions de nombres décimaux, en cm, ou entiers, en mm.

Ou, pour chaque figure, suivre le pourtour avec une ficelle ou une bande ou autre matériel (en mettant éventuellement des marques d’un côté à l’autre). Puis comparer les longueurs des ficelles et noter que la plus longue est celle de A et la plus courte celle de D.

Notions mathématiques

périmètre, aire, polygone, quadrillage, carré, diagonale, longueur, comparaison

Résultats

29.II.02

Points attribués sur 907 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analysi a priori:

• 4 points: Réponse correcte et complète (la barrière de A est la plus longue et celle de D la plus courte) avec description claire des comparaisons deux à deux (voir analyse de la tâche) ou des mesures reportées sur le matériel utilisé
• 3 points: Réponse correcte et complète avec description peu claire ou incomplète de la procédure suivie ou quelques imprécisions ou erreurs de calcul dans les mesures
• 2 points: Réponse correcte mais illustrée seulement par une ou deux comparaisons
  ou réponse correcte sans explication
  ou une seule réponse correcte avec toutes les comparaisons nécessaires
• 1 point: Début de recherche correct
  ou une seule réponse correcte sans explication
• 0 point: Confusions systématiques entre longueurs des côtés et diagonales (soit considérées comme égales, soit considérées dans un rapport 1/2
  ou incompréhension du problème

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