Le tangram du menuisier (I)

Identification

Rallye: 29.II.10 ; catégories: 6, 7 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires

Remarque et suggestion

Résumé

À partir de la photo d’un Tangram et de ses sept pièces, trouver la mesure du côté du Tangram connaissant la mesure du côté de la petite pièce carrée ($6$ cm).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Observer la photo et «voir» qu’il s’agit d’un puzzle de $7$ pièces, constater qu’il y a cinq pièces en forme de triangle, que l’une est un carré (selon l’énoncé) et la dernière un quadrilatère.

- Analyser les rapports entre les côtés des pièces (Y a-t-il des côtés égaux? des côtés dont la longueur est le double de celle d’un autre?) puisque la seule donnée numérique est le côté du petit carré ($6$) et la question porte sur le côté du Tangram. Voir aussi qu’on peut s’intéresser aux aires des pièces, (Y a-t-il des pièces avec des aires égales? des pièces dont l’aire est le double de celle d’une autre?)

- Il y a plusieurs manières de procéder:

• reproduire le dessin en vraie grandeur à partir d’un carré de $6$ cm de côté, dont on prolonge deux côtés perpendiculaires (qui deviendront les diagonales du Tangram), etc. Cette procédure permet d’arriver à la réponse $17$ cm, à $1$ mm près.
• observer la figure, déduire que la diagonale du petit carré représente la moitié du côté du Tangram à construire. Au niveau $7$ le théorème de Pythagore peut être déjà connu, calculer ainsi la mesure et la doubler, en arrondissant.
• découper les pièces et procéder par déplacements et superpositions (translations, rotations, ...)
• recourir, dans le cadre géométrique, à de simples déductions à partir des propriétés élémentaires des figures.

- Par exemple, voici quelques-unes de ces déductions (la pièce carrée est représentée par un carré)

• de la position de ce carré $\Rightarrow$ les deux grands et les deux petits triangles, voisins, sont rectangles,
• les deux grands triangles étant rectangles $\Rightarrow$ leur côté commun est sur la deuxième diagonale du Tangram $\Rightarrow$ qui aboutit au sommet inférieur droit et sépare le triangle moyen en deux triangles rectangles,
• la diagonale «verticale» du petit carré le décompose en deux triangles rectangles $\Rightarrow$ en glissant de $6$ cm le demi carré de gauche le long de la diagonale du Tangram, il se superpose exactement au petit triangle du Tangram du haut à droite $\Rightarrow$ ce petit triangle est un demi carré, ses côtés de l’angle droit mesurent $6$ cm et son grand côté (que nous appelons ici provisoirement «$d$» peut être estimé en mesurant la diagonale d’un carré de $6$ cm de côté) $\approx 8,5$ cm $\Rightarrow$ les demi-diagonales du Tangram ou les côtés de l’angle droit des grands triangles mesurent $12$ cm.

On aboutit ainsi aux quatre longueurs possibles des côtés de sept pièces: $6$ ou $12$ ou «$d$» ou $2 \times$ «$d$» (cm); en particulier les côtés des grands triangles rectangles mesurent, $12$, $12$, et $2 \times$ «$d$» (cm) dont le dernier donnerait la réponse au problème si on était en mesure de le calculer. Sinon, les élèves peuvent éventuellement dessiner un triangle rectangle isocèle avec des côtés égaux de $12$ cm et mesurer l’autre côté, celui indiqué provisoirement par «$d$».

Ou:

• passer par les aires des pièces à partir des déductions précédentes : en cm$^2$ celle du carré est $36$, celle d’un petit triangle $18$, celles du triangle moyen et du parallélogramme (composé de deux petits triangles) $36$, celle de chacun des grands triangles $72$, et finalement celle du Tangram $288$ (avec le petit triangle comme unité on trouve $16$ et $16 \times 18 = 288$). On peut aussi considérer que le triangle moyen est la moitié d’un carré, le quart du Tangram en bas à droite, dont l’aire est $72$ (cm$^2$).
• Dans un cas comme dans l’autre, il faut rechercher le côté d’un carré dont on connaît l’aire. Pour $288$ c’est le nombre qui multiplié par lui-même donne $288$, désigné par $\sqrt{288}$ mais donné par une de ses approximations $\approx 17$ ou $16,97$ ... Pour le côté du carré d’aire $\sqrt{72} \approx 8,5$ ou $8,48$ ... qu’il faudra multiplier par $2$ pour arriver à la réponse.

Notions mathématiques

géométrie, tangram, pavage, puzzle, polygone, triangle, carré, diagonale, aire, périmètre, rapport, racine de 2

Résultats

29.II.10

Points attribués, sur 1812 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte (la mesure du côté du Tangram est, en cm, $\sqrt{288}$, ou une valeur numérique de $16,9$ à $17,1$cm en cas de détermination par dessin - avec présentation du dessin - ou $\approx 17$ ou $16,97$ ... par la calculatrice ou encore $12\sqrt{2}$ - pour ceux qui auraient retenu la formule $c\sqrt{2}$), avec le détail de toutes les mesures intermédiaires trouvées - d’aires ou de longueurs - et quelques mots pour décrire la démarche comme, par exemple: les petits triangles sont la moitié du petit carré ou le côté du Tangram mesure le double de la diagonale du petit carré interne, avec une justification.
• 3 points: Réponse correcte avec le détail de certaines mesures et description peu claire.
• 2 points: Réponse correcte sans aucune explication ni détails de la procédure
  ou réponse erronée (par exemple avec des erreurs de calcul), avec le détail de certaines mesures intermédiaires et description claire.
• 1 point: Réponse qui se limite à l’aire du Tangram ($288$ cm$^2$)
  ou mesure proche de $17$ (inférieure à $16,8$ ou supérieure à $17,1$) sans présentation du dessin sur lequel a été prise la mesure
  ou début de recherche cohérent avec quelques mesures ou relations trouvées entre les aires ou les côtés des figures.
• 0 point: Incompréhension du problème.

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