Banque de problèmes du RMT
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En partant de la photo d'un Tangram et de ses sept pièces, trouver la mesure du côté du Tangram en sachant que le côté du petit carré mesure $u$.
Analyse de la tâche a priori:
- Observer les sept pièces de la photo: passer des objets aux figures géométriques, les analyser, les décomposer en polygones et segments, «imaginer» les relations entre leurs aires et longueurs, les reconstruire mentalement ou par une construction effective sur une feuille.
- Recourir à une déduction «élémentaire»: en observant par exemple que les angles que la diagonale du grand carré divise en deux, mesurent $45$ degrés et que le petit triangle en haut à droite a un angle de $45$ degrés, un angle droit et qu’il est donc un triangle rectangle isocèle, idem pour l'autre petit triangle. Puisque le petit carré a son côté qui mesure $u$ et l’aire $u^2$, les deux petits triangles ont deux côtés de longueur $u$ et leur aire $1/2 u^2$, l’hypoténuse du petit triangle est égale à la diagonale du petit carré ($u\sqrt{2}$), le quadrilatère a deux côtés égaux à l'hypoténuse du petit triangle et deux côtés égaux au côté du petit carré (c’est un parallélogramme), le triangle moyen a son hypoténuse qui mesure $u$ (deux fois le côté du carré) et le est divisé en $2$ triangles rectangles isocèles par une médiane, qui ont deux côtés de longueur $u$ et on retrouve un petit triangle.
- Déduire la mesure du côté du Tangram: $2\sqrt{2}u$ ou $\sqrt{8}u$ ou encore une approximation de $2,83 u$.
Ou
- avec le recours à d’autres déductions «élémentaires» montrer que la moitié du côté du Tangram est égale à la mesure de la diagonale du petit carré. En fait, si l’on considère l’axe de symétrie (qui passe évidemment par le centre) du grand carré parallèle au côté horizontal du Tangram, la moitié de cet axe de symétrie coïncide avec la diagonale du petit carré qui a deux côtés sur les deux diagonales. Puisque la diagonale du petit carré est égale à $u\sqrt{2}$, la mesure du côté du tangram sera $2\sqrt{2}u$ ou $\sqrt{8}u$ ...
Ou
- comprendre que l’on peut déduire le côté du Tangram de son aire, aire qui peut se calculer à partir des aires de ses pièces (voir ci-dessus): petit carré $u^2$, petits triangles $1/2 u^2$ chacun, le triangle moyen est aussi rectangle isocèle partagé par la diagonale du grand carré en deux triangles égaux au petit triangle d’aire $1/2 u^2$. Si le parallélogramme est partagé en deux, avec les considérations précédentes on voit encore deux petits triangles égaux aux précédents. Sa surface est donc $u^2$. L'aire de la moitié du carré est donc : $u^2 + u^2 + u^2 + 1/2 u^2 + 1/2 u^2 = 4 u^2$. La superficie totale est donc de $8 u^2$.
Ou
- encore à partir des "déductions" précédentes, voir que le grand carré est composé de $16$ petits triangles, ce qui donne une superficie totale de $1/2 u^2 \times 16 = 8 u^2$. La mesure du côté du Tangram est alors $\sqrt{8}u$ ou $2\sqrt{2}u$.
Il y a évidemment de nombreuses variantes faisant combinant certaines de ces procédures, par mesure directe, par calcul des longueurs ou à partir des aires.
géométrie, tangram, pavage, puzzle, polygone, triangle, carré, diagonale, aire, périmètre, rapport, racine de 2
Points attribués, sur 794 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 205 (39%) | 102 (20%) | 81 (16%) | 52 (10%) | 82 (16%) | 522 | 1.43 |
| Cat 9 | 31 (23%) | 20 (15%) | 22 (16%) | 31 (23%) | 32 (24%) | 136 | 2.1 |
| Cat 10 | 21 (15%) | 11 (8%) | 26 (19%) | 39 (29%) | 39 (29%) | 136 | 2.47 |
| Total | 257 (32%) | 133 (17%) | 129 (16%) | 122 (15%) | 153 (19%) | 794 | 1.72 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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