Le dessin de Pierre

Identification

Rallye: 29.F.11 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage

Remarque et suggestion

Résumé

À partir d'un modèle proposé, terminer un pavage composé de figures blanches et grises, tracé dans un quadrillage de 20 x 20 carrés. Comparer les aires des zones blanches et grises du pavage complet et déterminer leur différence.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

Observer la figure, lire le texte et déduire qu'il s'agit d'une grille de 20 x 20 petits carrés.

Observer, par exemple, qu’un motif géométrique est répété dans chaque module de 4 x 4 petits carrés, et que dans deux modules adjacents les couleurs des mêmes polygones sont inversées.

Comprendre que pour résoudre le problème, il est possible de compter le nombre total de polygones de chaque type et de calculer la mesure de l’aire totale de chaque zone, en choisissant une unité de mesure appropriée.

En observant le fragment du pavage et en le complétant éventuellement, comprendre que :

- le dessin est constitué de bandes (de 4 petits carrés de large) dans lesquelles alternent deux trapèzes gris, deux triangles blancs, deux trapèzes blancs et deux triangles gris ;

- il y a cinq bandes horizontales et cinq bandes verticales : on peut travailler indifféremment horizontalement ou verticalement ;

- dans les bandes de rang impair, il y a six trapèzes gris et quatre blancs, et inversement dans les bandes de rang pair ;

- dans les bandes de rang impair, il y a quatre triangles gris et six blancs, et inversement, dans les lignes de rang pair.

- On a donc en tout 26 trapèzes gris et 24 trapèzes blancs, 24 triangles gris et 26 triangles blancs.

- En utilisant l’aire du petit carré comme unité d’aire, la zone grise mesure 6 x 26 + 24 x 2 = 204 unités et la zone blanche 24 x 6 + 26 x 2 = 196 unités. La différence des aires grises et blanches mesure donc 204 – 196 = 8 unités.

Il y a évidemment de très nombreuses autres manières de dénombrer les différentes pièces du pavage, qui toutes exigent une organisation rigoureuse. (reprise du problème La table du grand père)

Notions mathématiques

pavage, triangle, carré, polygone, dénombrement, aire

Résultats

29.F.11

Points attribués sur 162 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Aire grise – aire blanche = 8 carrés unités ou autres nombres trouvés en utilisant d’autres unités de mesure, calculés correctement), avec une description claire et complète de la procédure suivie et des calculs effectués.
• 3 points: Réponse correcte avec une explication incomplète ou peu claire (par exemple, les calculs sont présents mais la manière dont le comptage a été effectué n'est pas clairement décrite)
  ou calcul correct des deux aires bien expliqué mais où il manque le calcul de la différence.
• 2 points: Mauvaise réponse par un comptage ou un calcul erroné, mais raisonnement correct et explicite.
• 1 point: Début de raisonnement ou de comptage correct (par exemple, identification du nombre de trapèzes et de triangles).
• 0 point: Incompréhension du problème (par exemple, pour chaque couleur, ajouter le nombre de trapèzes avec le nombre de triangles).

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