Banque de problèmes du RMT
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Dans la phase d’appropriation du problème, il faut prendre conscience que chaque élève a choisi un rectangle différent et que son affirmation doit par conséquent être vérifiée pour n’importe quel rectangle. Il ne suffit pas seulement de lire les différentes propositions des élèves, mais surtout à se rendre compte que les dimensions des rectangles ne sont pas données. C’est-à-dire que lorsque l’enseignant dit « dessinez un premier rectangle », cela signifie que non seulement les élèves doivent choisir les dimensions, mais aussi que la construction du second devra être valide pour n’importe quel rectangle choisi.
Il faut ensuite se rendre compte que toutes les modifications proposées par les élèves agissent sur la largeur et sur la longueur du premier rectangle, avec des variations d’une proposition à l’autre selon la manière de formuler les transformations (doubler, augmenter de … ), qui déterminent un deuxième rectangle.
Finalement il faut comprendre la nécessité de vérifier que l’aire du second rectangle est le double de celle du premier rectangle.
Il y a plusieurs procédures de résolution :
- Partir d’un cas particulier de dimensions du premier rectangle, calculer son aire, déterminer les dimensions du second (la détermination des dimensions du second exige la maîtrise des expressions « doubler », « augmenter de la moitié », « augmenter de 20% » … et la capacité de les transformer en multiplication), puis calculer son aire et vérifier si elle est bien le double de celle du premier. En cas d’affirmative, vérifier avec quelques autres exemples et conjecturer que « ça marche toujours ». Dans le cas contraire, le cas particulier ou contre-exemple suffit.
- Envisager le cas général et donner des « justifications » de type rhétorique (ou par un dessin pour A, B éventuellement C et D) du genre (pour A) « si on double les deux dimensions, l’aire va être multipliée par 4 » ou du genre (pour D) « j’ai fait un dessin du premier rectangle divisé en six : 2 parts dans la longueur et 3 parts dans la largeur. En augmentant la longueur de sa moitié j’aurai 3 parts et en augmentant la largeur de son tiers j’aurai quatre parts et mon nouveau rectangle aura donc 12 parts, le double de six).
- En langage algébrique, les justifications se limitent à vérifier les égalités ou inégalités d’écritures littérales : « pour tout rectangle » de dimensions a et b et d’aire ab - les réponses sont :
pour A : non car 2a x 2b = 4ab diff 2ab
pour B : oui 2a x b = 2ab
pour C : non car 1,5a x 1,5b = 2,25ab diff 2ab
pour D : oui car 3/2a x 4/3b = 2ab
pour E : non car 1,2a x 1,8b = 2,16ab diff 2ab
pour F : oui car 0.8a x 2,5b = 2ab
rectangle, périmètre, longueur, largeur, aire
Points attribués sur 1100 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 154 (22%) | 231 (32%) | 178 (25%) | 98 (14%) | 55 (8%) | 716 | 1.54 |
| Cat 9 | 30 (15%) | 49 (25%) | 27 (14%) | 39 (20%) | 55 (28%) | 200 | 2.2 |
| Cat 10 | 27 (15%) | 32 (17%) | 41 (22%) | 34 (18%) | 50 (27%) | 184 | 2.26 |
| Total | 211 (19%) | 312 (28%) | 246 (22%) | 171 (16%) | 160 (15%) | 1100 | 1.78 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Il faut lire attentivement ces critères pour noter que les "4 points" et "3 points" sont attribués aux six réponses correctes et que, par conséquent une moyenne de 1,5 qui peut sembler faible ne signifie pas un échec total mais des réussites partielles de une à cinq réponses correctes.
Presque toutes les copies montrent une bonne appropriation du problème à quelques exceptions près, comme la suivante, qui se réfère aux triangles plutôt qu’aux rectangles pour qui le mot « dimension » semble se rapporter à l’aire.
La procédure la plus utilisée est la première de celles décrites dans la rubrique Analyse de la tâche : choisir un rectangle en donnant des valeurs simples de ses dimensions et le conserver comme référence pour contrôler les réponses données individuellement pour chacun des six élèves de l’énoncé.
Par exemple: Nous avons dessiné un rectangle avec des mesures aléatoires (5 x 10) et calculé sa surface.
Par la suite, en prenant les mesures du rectangle, nous les avons modifiées selon les théories des élèves.
La première, Anne, a tort en ce sens qu'en doublant les deux côtés, la surface est quatre fois plus grande.
La seconde a raison comme…
La deuxième procédure est en général combinée avec la première, par l'adjonction de rectangles dessinés.
Les cas d'Anne et de Berthe se sont avérés les plus faciles. En ce qui concerne Daniel, la difficulté s'est avérée être liée à la non-acceptation d'une valeur approximative (il est intéressant de noter qu'il y a eu un cas où l'on a compris que le groupe n'arrivait pas à "se décider").
Le cas de Fabio est celui qui, lorsqu'il a été abordé, a fait apparaître le plus de difficultés, à propos des pourcentages et la "diminution" est parfois devenue une "augmentation".
La procédure algébrique a été observée dans environ un tiers des copies de catégories 9 et 10, et plus rarement en catégorie 8.
Cette "double" proportionnalité se traduit par des expressions du genre "si je double la longueur d'un des côtés, l'aire double aussi mais si je double la longueur de chacun des côtés, l'aire quadruple". Et dans le cas général, si le facteur de similitude est k les deux dimensions a et b deviennent ka et kb mais l'aire ab devient k2ab.
On se retrouve ici dans la problématique du "conflit aire / périmètre" ou "figure de dimension 1 (D1) / figure de dimension 2 (D2)" que l'élève rencontre lorsqu'il observe des figures géométriques. Les obstacles de ces situations ne sont souvent surmontés qu'à la fin de la scolarité obligatoire.
Une autre exploitation du problème concerne la passage d'expressions contenant les mots "augmentation" ou "diminution" combinées avec des écritures fractionnaires, décimales ou en pourcentages qui doivent être traduites en opérations multiplicatives.
De nombreux élèves ont encore de la peine, dans ce problème et de nombreux autres, à traduire, par exemple: j’ai augmenté l’autre de sa moitié par une multiplication par 3/2 ou par 1,5 ou, autre exemple j’ai diminué une dimension de 20 % et j’ai augmenté l’autre de 150 % par une multiplication par 0,8 et une autre multiplication par 2,5 ou par 5/2".
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