La parete pistrellata

Identificazione

Rally: 31.II.19 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• AL - Gestire allineamenti di oggetti
• AL/PAV - Eseguire pavimentazioni
• CA - Confrontare aree
• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri

Envoyer une remarque ou une suggestion

Sunto

Determinare le modifiche delle dimensioni di una pavimentazione rettangolare con quadrati quando si passa da una disposizione con i quadrati aventi i lati paralleli ai bordi del rettangolo a una disposizione dove sono le diagonali dei quadrati che sono parallele ai lati del rettangolo.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi del compito a priori:

Compito matematico

Determinare le modifiche delle dimensioni di una pavimentazione rettangolare con quadrati quando si passa da una disposizione con i quadrati aventi i lati paralleli ai bordi del rettangolo a una disposizione dove sono le diagonali dei quadrati che sono parallele ai lati del rettangolo.

Analisi del compito

Capire i vincoli della piastrellatura: un muro di 280 cm che limita la lunghezza del rettangolo, ma alla quale deve avvicinarsi il più possibile, la scelta di ritagliare le piastrelle solo in due o quattro triangoli, le due disposizioni di piastrelle quadrate in un rettangolo.

La risoluzione richiede diverse tappe.

- Un disegno e uno studio piuttosto attento delle proprietà di una pavimentazione “obliqua” con quadrati e semi-quadrati con le diagonali parallele ai lati del rettangolo:

- Le due piastrelle della figura 1 dopo il ritaglio formano un solo quadrato con, o una piastrella all’interno circondata da quattro “triangoli-quarti-di piastrella”, in figura 2, o in quattro “triangoli-semi-piastrella” in figure 3. Si tratta di una conoscenza preliminare, elementare, acquisita per ritaglio, disegno, collage… che sarà indispensabile per proseguire.

- Poiché l’area di una piastrella di 20 cm di lato è 400 (in cm$^2$), l’area del quadrato (figura 2) è 800 (en cm$^2$), e il lato del quadrato è √800 (in cm) o √(400 × 2) o 20 × √2 o ancora 20√2. Questa scrittura è un ostacolo (si tratta di una conoscenza un po’ meno elementare in quanto fa appello a numeri che non possiamo scrivere diversamente visto che i numeri decimali danno solo delle approssimazioni; qui ≈ 28,2)

- Il ragionamento precedente conduce al rapporto tra la lunghezza del lato della piastrella e la sua diagonale, rapporto che a questo livello dovrebbe essere noto. Il fatto di dover ritrovare questo rapporto applicando il teorema di Pitagora è un altro ostacolo (una tappa supplementare e inutile) di carattere didattico, per questo problema.

- Quando si sa che la diagonale dei quadrati misura 20√2, si deve constatare, mediante disegno o spostamenti effettivi dei quadrati, che la pavimentazione di un rettangolo nella disposizione "obliqua" in cui i quadrati hanno le diagonali parallele i lati del rettangolo, possono essere organizzati all'interno di una griglia (o quadrettatura) i cui lati dei quadrati misurano: 20√2 (in cm). Il taglio delle piastrelle può essere limitato a "triangoli-mezze piastrelle", in certi casi favorevoli, come in figura 4, di 3 file su 4, e talvolta richiede un taglio più fine in "triangoli-quarti-tessere", come in figura 5, che in particolare permette di formare mezze file: 3 file per 4,5 file

Se ci riferisce a questa nuova quadrettatura ritroviamo le procedure abituali per la determinazione delle dimensioni del nuovo rettangolo:

- Il calcolo del numero di piastrelle intere (7  14 = 98)

- Sulla lunghezza del muro si possono sistemare 280: (20√2) ≃ 9,9 file verticali. Con i vincoli sul ritaglio delle piastrelle bisogna accontentarsi di 9,5 file verticali, cosa che dà una lunghezza di 9,5  (20√2) ≃ 268.8 (in cm)

- 9,5 file verticali la cui larghezza è quella di un lato del quadrato della quadrettatura contengono ciascuna 19 piastrelle, in totale 95 piastrelle, su 5 file in orizzontale (ci sono qui 3 piastrelle inutilizzate)

- L’altezza del rettangolo è quella di queste 5 file orizzontali: 5 × (20√2) = 100√2 ≈ 141,4.

Nozioni matematiche

area, rettangolo, lunghezza, pavimentazione larghezza, rotazione, obliquo, quadrato, diagonale, numero irrazionale, radice quadrata

Risultati

31.II.19

Punteggi attribuiti su 373 classi di 8 seczioni:

Secondo i criteri dell'analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta e completa “20√2 di lunghezza o ≈ 268,8 e 100√2 o ≈ 141,4 di altezza (in cm) e 95 piastrelle” con spiegazioni chiare e complete
• 3 punti: Risposta corretta e completa con spiegazioni poco chiare e incomplete
• 2 punti: Risposta corretta e completa senza spiegazioni
  oppure risposta corretta per le dimensioni con un errore nel numero di piastrelle o senza il numero di piastrelle
  oppure risposta delle dimensioni con un errore e risposta 95 per le piastrelle
• 1 punto: Inizio corretto di ricerca
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Alla luce dei risultati sopra esposti, è evidente che il problema non possa essere proposto secondo le modalità della gara (affidando l'intero compito della sua soluzione a gruppi di allievi). È necessario un aiuto per l'appropriazione della situazione: comprendere la "rotazione" delle piastrelle da una disposizione "orizzontale-verticale" ad una disposizione "obliqua" e comprendere i vincoli legati alla parete da rivestire. (Un disegno potrebbe completare l'enunciato.)