Banca di problemi del RMT
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Determinare le modifiche delle dimensioni di una pavimentazione rettangolare con quadrati quando si passa da una disposizione con i quadrati aventi i lati paralleli ai bordi del rettangolo a una disposizione dove sono le diagonali dei quadrati che sono parallele ai lati del rettangolo.
Analisi del compito a priori:
Compito matematico
Determinare le modifiche delle dimensioni di una pavimentazione rettangolare con quadrati quando si passa da una disposizione con i quadrati aventi i lati paralleli ai bordi del rettangolo a una disposizione dove sono le diagonali dei quadrati che sono parallele ai lati del rettangolo.
Analisi del compito
Capire i vincoli della piastrellatura: un muro di 280 cm che limita la lunghezza del rettangolo, ma alla quale deve avvicinarsi il più possibile, la scelta di ritagliare le piastrelle solo in due o quattro triangoli, le due disposizioni di piastrelle quadrate in un rettangolo.
La risoluzione richiede diverse tappe.
- Un disegno e uno studio piuttosto attento delle proprietà di una pavimentazione “obliqua” con quadrati e semi-quadrati con le diagonali parallele ai lati del rettangolo:
- Le due piastrelle della figura 1 dopo il ritaglio formano un solo quadrato con, o una piastrella all’interno circondata da quattro “triangoli-quarti-di piastrella”, in figura 2, o in quattro “triangoli-semi-piastrella” in figure 3. Si tratta di una conoscenza preliminare, elementare, acquisita per ritaglio, disegno, collage… che sarà indispensabile per proseguire.
- Poiché l’area di una piastrella di 20 cm di lato è 400 (in cm$^2$), l’area del quadrato (figura 2) è 800 (en cm$^2$), e il lato del quadrato è √800 (in cm) o √(400 × 2) o 20 × √2 o ancora 20√2. Questa scrittura è un ostacolo (si tratta di una conoscenza un po’ meno elementare in quanto fa appello a numeri che non possiamo scrivere diversamente visto che i numeri decimali danno solo delle approssimazioni; qui ≈ 28,2)
- Il ragionamento precedente conduce al rapporto tra la lunghezza del lato della piastrella e la sua diagonale, rapporto che a questo livello dovrebbe essere noto. Il fatto di dover ritrovare questo rapporto applicando il teorema di Pitagora è un altro ostacolo (una tappa supplementare e inutile) di carattere didattico, per questo problema.
- Quando si sa che la diagonale dei quadrati misura 20√2, si deve constatare, mediante disegno o spostamenti effettivi dei quadrati, che la pavimentazione di un rettangolo nella disposizione "obliqua" in cui i quadrati hanno le diagonali parallele i lati del rettangolo, possono essere organizzati all'interno di una griglia (o quadrettatura) i cui lati dei quadrati misurano: 20√2 (in cm). Il taglio delle piastrelle può essere limitato a "triangoli-mezze piastrelle", in certi casi favorevoli, come in figura 4, di 3 file su 4, e talvolta richiede un taglio più fine in "triangoli-quarti-tessere", come in figura 5, che in particolare permette di formare mezze file: 3 file per 4,5 file
Se ci riferisce a questa nuova quadrettatura ritroviamo le procedure abituali per la determinazione delle dimensioni del nuovo rettangolo:
- Il calcolo del numero di piastrelle intere (7 14 = 98)
- Sulla lunghezza del muro si possono sistemare 280: (20√2) ≃ 9,9 file verticali. Con i vincoli sul ritaglio delle piastrelle bisogna accontentarsi di 9,5 file verticali, cosa che dà una lunghezza di 9,5 (20√2) ≃ 268.8 (in cm)
- 9,5 file verticali la cui larghezza è quella di un lato del quadrato della quadrettatura contengono ciascuna 19 piastrelle, in totale 95 piastrelle, su 5 file in orizzontale (ci sono qui 3 piastrelle inutilizzate)
- L’altezza del rettangolo è quella di queste 5 file orizzontali: 5 × (20√2) = 100√2 ≈ 141,4.
Punteggi attribuiti su 373 classi di 8 seczioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 110 (56%) | 71 (36%) | 13 (7%) | 2 (1%) | 1 (1%) | 197 | 0.54 |
| Cat 10 | 100 (57%) | 52 (30%) | 22 (13%) | 2 (1%) | 0 (0%) | 176 | 0.58 |
| Totale | 210 (56%) | 123 (33%) | 35 (9%) | 4 (1%) | 1 (0%) | 373 | 0.56 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Alla luce dei risultati sopra esposti, è evidente che il problema non può essere proposto secondo le modalità del concorso (affidando l'intero compito della sua soluzione a gruppi di allievi). È necessario un aiuto per l'apropiazione della situazione: comprendere la "rotazione" delle piastrelle da una disposizione "orizzontale-verticale" ad una disposizione "obliqua" e di comprendere i vincoli legati alla parete da rivestire. (Un disegno potrebbero completare la dichiarazione.)
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