La table de jardin

Identification

Rallye: 15.I.12 ; catégories: 6, 7 ; domaine: GP
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Rechercher les dimensions d’un rectangle, composé lui-même de sept rectangles isométriques de 3 m de périmètre, cinq disposés côte à côte, les deux derniers perpendiculairement aux cinq autres, à leurs extrémités.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Observer la décomposition d’un rectangle en sept rectangles isométriques, cinq côte à côte et les deux autres perpendiculairement aux cinq premiers, en déduire les rapports entre les périmètre, longueur et largeur à l’aide d’une unité commune : la largeur d’un des sept rectangles isométriques. Avec cette unité commune, les dimensions des rectangles isométriques sont 1 et 5, leur périmètre 12 correspondant à 3 m.

Par proportionnalité, calculer la largeur (5 unités = 125 cm), la longueur, (7 unités = 175) de la table (768 cm²).

Notions mathématiques

rectangle, périmètre, largeur, longueur, proportionnalité

Résultats

15e RMT

Sur 757 classes ayant participé à l’épreuve I du 15e RMT, de 10 sections:

Selon les critères de l’analyse a priori du problème

• 4 Réponse correcte (largeur 125 cm ou 1,25 m, longueur 175 cm ou 1,75 m) avec explications claires
• 3 Réponse correcte mais avec une argumentation peu convaincante.
• 2 Réponse correcte sans explication, ou réponse justifiée avec une erreur de calcul
• 1 Début de raisonnement correct ou détermination du périmètre du plateau seulement
• 0 Incompréhension du problème

La moyenne passe de 1,2 en catégorie 6 (11 -12 ans) à 2,0 en catégorie 7 ce qui témoigne d’une tâche difficile pour les élèves les plus jeunes et « moyennement facile » pour les plus âgés. Le taux d’échec complet « incompréhension du problème » passe de 55% en catégorie 6 à 35% en catégorie 7.

On peut à ce propos signaler l’homogénéité des résultats obtenus pour une tâche tout à fait comparable La boîte (11.F.09) à quatre ans d’intervalle. Les moyennes étaient de 1,3 points (contre 1,2) en catégorie 6 et 2,3 points (contre 2,0) en catégorie 7, quatre ans plus tôt mais 5 mois plus tard dans l’année scolaire, provenant de classes ayant accédé aux finales régionales.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Il n'y a en fait qu’une seule procédure qui peut conduire à la réponse, en quatre séquences dont l’ordre est imposé par la logique interne du problème :

- Observer que la largeur de la boîte, à la base, est constituée de cinq segments isométriques, qui se répètent 7 fois dans la longueur. Cette phase implique la perception des cinq « largeurs » dans une « longueur », conservée lorsque les rectangles subissent une rotation de 90 degrés, c’est-à-dire la maîtrise de l’isométrie, la recherche d’une unité de longueur et l’expression d’une autre dimension à l’aide de cette unité.

- Comprendre par conséquent que le demi-périmètre d’un petit rectangle est constitué de 6 unités de longueur. (ou le périmètre de 12). Il faut ici faire appel à l’addition de mesures.

- Convertir les 3m du périmètre d’un rectangle en 300 cm, puis les unités de longueur précédentes, en cm, ce qui fait intervenir la proportionnalité avec, le plus souvent, le passage à l’unité (300 : 2) : 6 = 25. La longueur d’un petit rectangle correspondra à 5 x 25 = 125, qui est aussi la largeur de la table, et la longueur de la table à 7 x 25 = 175.

- Calculer l’aire : 768 (24 x 32) cm².

Il n’y a pas vraiment « d’erreurs » pour les 46% des groupes (presque la moitié) ayant obtenu « 0 point » (« incompréhension du problème ») . Il y a des obstacles d’ordre génétique qui empêchent les élèves de 10 à 12 ans « d’entrer » dans le problème car ils n’ont pas encore construit la concept d’unité de longueur, ou parce qu’ils ne savent pas le mettre en œuvre lorsque les segments mesurés ne sont pas parallèles, ou encore parce que position des segments, parce qu’il est prématuré pour eux gérer une situation de proportionnalité comme celle des conversions d’unité.

Exploitations didactiques

Dans les conditions de passation d’une épreuve du RMT, la résolution du problème « La table de jardin » est hors de portée d’une moitié d’élèves de 11 à 12 ans. Dans une pratique habituelle de classe, les conditions changent car le maître est là ; il peut organiser des mises en commun, des validations intermédiaires. Il peut même arriver à « faire réussir » le problème en prenant à sa charge des moments clés de la résolution ; mai on n’atteindrait pas le but de l’activité.

Il faut attendre le niveau de la 7e année (12-13 ans) pour s’attendre à ce que les élèves puissent profiter des obstacles de la situation pour tenter de les surmonter, de les contourner et de progresser ainsi dans leurs apprentissages, autour de la mesure, des conservation de longueurs dans les isométries, de la proportionnalité.

La situation est riche et demandera d’être exploitée, après la résolution, en phase de validation des solutions puis d’institutionnalisation. Des variantes, choisies parmi les autres problèmes de la sous-famille, pourront être proposées ensuite pour renforcer ou vérifier les nouveaux savoirs acquis.

Voir aussi La boîte (11.F.09) et Le parquet (23.I.14)

Bibliographie

Points de départ : La Boîte, in Grand N No 85, 2010 pp. 7, suivi de « premières réflexions » (F. Jaquet) pp. 9-11.

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