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Banque de problèmes du RMTgp20-fr |
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Décider et justifier de l’alignement de trois points dans une situation où sont donnés un triangle équilatéral de côté 41 m et un point situé à 41 m et 71 m de deux de ses sommets, qui apparaît, par construction avec les instruments de dessin géométriques, comme le prolongement d’un de ses côtés.
Comme pour de nombreux problèmes de géométrie déductive, una analyse a posteriori est absolument nécessaire pour comprendre les raisons de la très faible réussite.et ainsi améliorer l'analyse a priori rédigée avant la passation.
Une vingtaine de copies examinées montrent que la position des quatre points est approximativement déterminée et que l'alignement des trois points D, C et A est décidé visuellement, selon la précision du dessin.
La figure ABD est considérée proche d'un triangle rectangle et les élèves y appliquent le théorème de Pythagore dans le sens "direct": triangle rectangle + connaissance des côtés de l'angle droit (41) et (71) => possibilité de calculer la longueur de l'hypoténuse (√(412 + 712) = √6722) et d'arriver ainsi à une valeur légèrement différente de 82 = 2 x 41; sans penser que, réciproquement, que si le théorème de Pythagore ne "marche pas" dans ce cas, c'est que la figure de départ n'est pas un triangle, mais un quadrilatère. L'obstacle est évident: faut-il faire confiance à sa vision dans le domaine de la géométrie ou aux calculs dans le domaine de l'arithmétique?
Il faut reconnaître. à leur décharge, que l'école ne se préoccupe pas, lors de l'étude du théorème de Pythagore, se sa réciprocité!!
Analyse a priori (a remplacer par une analyse a posteriori)
Mais dans cette hypothèse, le théorème de Pythagore n’est pas vérifié : 412 + 712 = 6722 ≠ 6724 = 822. On rejette l’hypothèse que A, C, D sont alignés. Remarquons que l’hypoténuse AD mesurerait 81,9878 m, à l’échelle 1/100 du dessin géométrique, la différence à repérer est de 1/10è de mm, invisible à l’oeil nu.
Ou bien, dans le second cas, on montre que A, C, D ne sont pas alignés (fig II): les deux triangles ACE et CDF ne sont pas égaux car leurs autres côtés sont respectivement différents:
Les deux triangles n’étant pas égaux, bien qu’ils soient rectangles et de même hypoténuse (41), leurs angles aigus sont respectivement différents, ainsi l’angle en C du triangle CDF est différent de l’angle en A de ACE (60°), donc l’angle en C du triangle isocèle BCD est différent de 120°, ajouté à l’angle en C de ABC (60°) cela donne un angle différent de 180° et par conséquent A, C, D ne sont pas alignés.
géométrie, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, somme des angles, Pythagore, côté, cercle inscrit, inégalité de triangles, racine carrée, approximations
Points attribués sur 220 classes de 7 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
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Cat 9 | 39 (34%) | 48 (42%) | 16 (14%) | 6 (5%) | 5 (4%) | 114 | 1.04 |
Cat 10 | 31 (29%) | 49 (46%) | 10 (9%) | 7 (7%) | 9 (8%) | 106 | 1.19 |
Total | 70 (32%) | 97 (44%) | 26 (12%) | 13 (6%) | 14 (6%) | 220 | 1.11 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Origine: Rencontre dans le parc (19.II.16)
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