Sur le mur de l'école (I)

Identification

Rallye: 18.II.06 ; catégories: 4, 5 ; domaine: GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• IF - Identifier des figures
• IF/RC - Reconnaître et construire des figures élémentaires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Remarque et suggestion

Résumé

Identifier les rectangles, parallélogrammes non rectangles et autres parmi une chaîne de dix quadrilatères ayant des côtés communs dessinés sur un quadrillage.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Examiner les quadrilatères un à un. Constater que le premier est un rectangle à peindre en rouge (côtés opposés isométriques et parallèles, angles droits donnés par le quadrillage).

La figure 2 (de gauche à droite) dont les côtés sont parallèles deux à deux, peut être comparée à la première pour voir qu’elle est un parallélogramme non rectangle à peindre en vert. Les figures 3 et 4, qui ont des côtés opposés non parallèles, ne sont pas des parallélogrammes et seront peintes en jaune. Pour la figure 5 dont les côtés sont parallèles deux à deux, c'est l'utilisation d'une équerre ou l'observation attentive des côtés (diagonale de rectangles de 1 x 2 et de 1 x 3) qui permet de constater qu'ils ne sont pas perpendiculaires et qu'il s'agit d'un parallélogramme, non rectangle, à peindre en vert.

Constater que les figures 6 et 7 ne sont pas des parallélogrammes car elles ont des côtés opposés non parallèles, elles seront jaunes. La figure 8 est un rectangle, à colorier en rouge car elle a ses côtés opposés parallèles et isométriques et ses angles droits (nécessitant aussi le recours à l’équerre ou à une observation fine du quadrillage).

Pour la figure 9 dont les côtés sont parallèles deux à deux, c'est l'utilisation d'une équerre ou l'observation attentive des côtés (diagonale de rectangles de 2 x 2 et de 1 x 2) qui permet de constater qu'ils ne sont pas perpendiculaires et qu'il s'agit d'un parallélogramme, non rectangle, à peindre en vert. La figure 10 n’est pas un parallélogramme (c’est un trapèze rectangle), donc à peindre en jaune.

Notions mathématiques

rectangle, parallélogramme non rectangle, quadrilatère, aire, parallèle, perpendiculaire, côté

Résultats

18.II.06

Points attribués sur 974 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (1 et 8 en rouge, 2, 5 et 9 en vert, 3, 4, 6, 7 et 10 en jaune)
• 3 points: Réponse avec une seule erreur : 5 en rouge ou 8 en vert
• 2 points: Réponse avec seulement deux erreurs : 5 en rouge et 8 en vert
• 1 point: Réponse avec plus de deux erreurs sur les figures rouges et vertes, mais avec les figures jaunes correctement repérées
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Le groupe « géométrie plane » du RMT mène une recherche sur le concept de rectangle et a constaté que, contrairement à ce qu’on pense, de nombreux élèves sont incapables de reconnaître un rectangle lorsqu’il n’est pas dessiné dans une position conventionnelle (les côtés parallèles au bord de la feuille ou horizontaux ou verticaux). Et, lorsqu’on leur demande de dessiner un rectangle dont un côté est donné, ils construisent souvent un parallélogramme non rectangle, ne tenant pas compte du critère des angles droits. (Voir en particulier La table à déplacer ). Au cœur de ce problème, il y a donc la distinction entre rectangle et parallélogramme.

L’erreur la plus fréquente, pour près de la moitié des copies examinées, est effectivement de considérer le cinquième quadrilatère depuis la gauche comme un rectangle, sans remarquer que sa largeur est la diagonale d’un rectangle (1 x 2) alors que sa longueur est la diagonale d’un rectangle (1 x 3).

Les obstacles sont d'ordre perceptif (les élèves se contentent d'une ressemblance visuelle du cinquième quadrilatère avec un rectangle sans penser à approfondir l'examen ni à utiliser leur équerre), d'ordre didactique (ils n'ont pas l'habitude de vérifier si les angles sont vraiment droits car les rectangles leur sont presque toujours présentés dans une position conventionnelle) et finalement d'ordre conceptuel (car il faut établir le lien entre l'angle droit et la rotation de 90 degrés en observant la disposition des côtés assimilés à des diagonales de rectangles du quadrillage, comme le montrent les deux figures ci-dessous:)

Les constatations sont les mêmes pour la variante de ce problème: Sur le mur de l'école (II)) proposé à des catégories plus élevées: 6, 7 et 8.

Exploitations didactiques

Les observations ci-dessus conduisent à une proposition évidente d'exploitation didactique:

Reprendre la problème en classe, demander aux élèves de colorier les rectangles, puis comparer les réponses (et constater les différences à propos de la cinquième figure), engager un débat pour arriver à une solution commune et acceptée par tous. L'usage de l'équerre est évidemment une manière de reconnaître les angles droits, mais on peut aller jusqu'aux observations plus fines des positions des côtés par rapport au quadrillage.

On arrivera ainsi à sensibiliser les élèves aux rotations d'un quart de tour, en dessinant de nombreux rectangles et carrés dont les sommets sont situés sur des points d'un quadrillage et en les faisant tourner autour d'un sommet jusqu'à ce qu'un côté vienne se superposer à la trace du côté adjacent avant la rotation. (L'usage de papier translucide favorise ces constatations). Le huitième quadrilatère est intéressant à cet effet car ses côtés sont non seulement des diagonales de rectangles (1 x 2) du quadrillage, mais aussi de (2 x 4), puis, en les prolongeant, de (3 x 6), puis de (4 x 8) ... avec une ouverture sur l'égalité des rapports, comme approche de la proportionnalité dans une situation géométrique.

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