Banca di problemi del RMT
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Calcolare l'area di un rettangolo formato da cinque quadrati, (di lati 1, 1, 2, 3, 5) di cui si conosce il suo perimetro (130 cm) e calcolare poi il perimetro di un rettangolo simile di cui si conosce l’area (1440 cm2)
- Osservare la figura e identificare la sua struttura. Rendersi conto che il rettangolo può essere pavimentato con piccoli quadrati. Contare i lati dei quadrati piccoli contenuti nel perimetro del rettangolo e i piccoli quadrati che coprono la sua superficie.
- Osservare che il rettangolo è formato da 5 quadrati: due quadrati piccoli i cui lati possono essere presi come unità di lunghezza, un quadrato di lato doppio, un quadrato di lato triplo e un quadrato grande di lato 5 unità.
- Notare che il rettangolo ha per perimetro 2 x (8 + 5) = 26 unità e che contiene 2 + 4 + 9 + 25 = 40 quadrati unità.
- Dedurre che il perimetro può essere ottenuto dividendo la sua lunghezza per il numero di unità di lunghezza dei quadratini. Poiché il perimetro di Alex vale 130 cm, egli ha considerato 130/26 = 5 (in cm) per il lato del quadrato unitario, che ha quindi un’area di 25 cm2; nell’esempio di Alex, il rettangolo ha di conseguenza un’area di 25 x 40 = 1000 (in cm2).
- Dedurre che l’area di ogni singolo quadratino può essere ottenuta dividendo l’area del rettangolo per il numero di quadratini. Poiché l’area di Francesco vale 1440 cm2, egli ha preso, nel suo esempio, 1440/40 = 36 (in cm2) per l’area di un quadrato unitario ed estraendo la sua radice quadrata ottiene 6 cm come unità di lunghezza. Il perimetro del rettangolo di Francesco è quindi di 26 x 6 = 156 (in cm). Quindi calcolare la lunghezza e la larghezza del rettangolo e determinare, in base alla domanda posta, il suo perimetro o l’area tornando al senso o all’uso delle formule del perimetro o dell’area del rettangolo.
- Rendersi conto che la figura rappresenta una famiglia di rettangoli simili che sono ingrandimenti l'uno dell'altro. Quindi utilizzare la proporzionalità per calcolare direttamente le dimensioni del rettangolo perimetrale desiderato da quello del rettangolo indicato nelle istruzioni e, trovarle usando la radice quadrata del coefficiente moltiplicatore per passare dall'area del rettangolo dato a quella del rettangolo ricercato. Concludere determinando il perimetro o l'area del rettangolo in base alla domanda posta.
rettangolo, quadrato, perimetri, aree, proporzionalità
Risultati ottenuti su 1165 classi (di 21 sezioni)
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 316 (59%) | 54 (10%) | 58 (11%) | 18 (3%) | 88 (16%) | 534 | 1.08 |
| Cat 8 | 162 (41%) | 30 (8%) | 68 (17%) | 35 (9%) | 98 (25%) | 393 | 1.69 |
| Cat 9 | 69 (52%) | 10 (8%) | 13 (10%) | 2 (2%) | 39 (29%) | 133 | 1.49 |
| Cat 10 | 65 (62%) | 1 (1%) | 8 (8%) | 4 (4%) | 27 (26%) | 105 | 1.3 |
| Totale | 612 (53%) | 95 (8%) | 147 (13%) | 59 (5%) | 252 (22%) | 1165 | 1.35 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Tre procedure appaiono principalmente nelle classi:
1. Affiancamento della figura in piccoli quadrati, quindi determinazione del lato (o area) di un piccolo quadrato mediante calcolo o confronto dei valori, infine calcolo dell'area (o perimetro) del rettangolo richiesto.
2. Prove organizzate di diagrammi (o disegni in scala) di un rettangolo di perimetro (o area) desiderato con controllo della possibilità di effettuare o meno una piastrellatura quadrata in accordo con quella della figura del modello; quindi, calcolo dell'area (o perimetro) del rettangolo richiesto.
3. Utilizzo del coefficiente di proporzionalità, quasi esclusivamente nel caso di Alex, per determinare le dimensioni del rettangolo perimetrale di 130cm, ingrandendo il rettangolo indicato nell'enunciato o un rettangolo simile precedentemente costruito dagli studenti, calcolando quindi l'area (o perimetro) del rettangolo richiesto. La principale difficoltà incontrata dagli studenti risiede nell'analisi della figura: la costruzione del rettangolo dal quadratino, e le relazioni che legano i lati dei quadrati successivi, spesso non sono percepite dagli studenti. Di conseguenza, l’affermazione da "cinque quadrati" è spesso:
Un’interpretazione errata: gli studenti, ad esempio, dividono il perimetro per 5 (vedi "per andare più lontano"); trattata come un secondo vincolo: così gli studenti hanno preferito fissare prima la lunghezza e la larghezza del rettangolo perimetrale o il valore dell’area prima di provare, senza sempre riuscirci, a dividerlo in cinque quadrati come nella figura del modello;
Non la prendono in considerazione: alcuni studenti determinano l'area (o perimetro) di uno dei rettangoli perimetrali (o area) desiderati senza verificare che possa essere pavimentato con cinque quadrati. Quest'ultimo errore mostra la concezione, secondo la quale ad un dato perimetro (o area), corrisponderebbe, una singola figura associata la cui area (o perimetro) sarebbe di fatto fissa, è ancora prevalente tra gli studenti delle categorie 9 e 10 e rimane un ostacolo all'apprendimento dei concetti di area e perimetro.
La situazione è ricca e deve essere sfruttata, dopo la risoluzione, nella fase di validazione delle soluzioni e quindi di sintesi. A seconda delle procedure o degli errori effettivamente emersi, questa sintesi può tornare ai concetti e alle conoscenze coinvolte (area/perimetro, ingrandimento/proporzionalità) o indicare la diversità delle strategie utilizzate (ragionamento deduttivo, test organizzati, riferimento a un problema noto, ecc.) e la possibilità di utilizzarne diversi durante la ricerca. Questo importante momento di sintesi può consentire agli studenti di trarre lezioni più generali dalla risoluzione di un particolare problema che possono eventualmente utilizzare per risolvere nuovi problemi.
La debolezza dei risultati ottenuti durante il 17° rally e l'alta percentuale di "incomprensioni del problema" porta a proporre una riscrittura dell’enunciato del problema.
Nuovo enunciato: (una idea da provare)
Alex e Francesco considerano la seguente figura che rappresenta un rettangolo formato da cinque quadrati.
Alex dice che se conosce il perimetro di un tale rettangolo, può calcolare la sua area.
Qual è l'area calcolata da Alex quando il perimetro del rettangolo è di 130 cm?
Francesco afferma di poter calcolare il perimetro di un tale rettangolo a partire dalla sua area.
Qual è il perimetro ottenuto da Francesco quando l'area del rettangolo è di 1440 cm2?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
Osservazioni:
- Il numero 5 è apparso in molti calcoli di allievi che lo hanno identificato e interpretato come un numero da utilizzare. Questo è il motivo per cui il 5 è scritto in lettere nella nuova versione.
- Alcuni studenti hanno ritenuto che le dimensioni 130 cm e 1440 cm2 si riferissero a un unico rettangolo e che le soluzioni al problema fossero fornite nell’enunciato. Per rendere più chiara la consegna, le due domande sono state divise, "del rettangolo" è stato sostituito da "di un tale rettangolo" e il titolo della domanda è stato riscritto per menzionare le misure delle quantità coinvolte.
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