La vache dans le verger (I)

Identification

Rallyes: 15.I.04, 25.I.04 ; catégories: 3, 4 ; domaines: GM, GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Remarque et suggestion

Résumé

Dessiner sur un réseau pointillé à maille carrée des polygones de même périmètre qu’un polygone donné, composé de 4 côtés de carrés du réseau et de 4 diagonales, mais d’aire plus grande.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori d'origine

- Interpréter le plan du verger : y repérer les arbres, les barres de longueurs différentes et les différents enclos

- Observer les contours des enclos et reconnaître qu’il y a deux sortes de barres, celles dont la longueur correspond à un « côté » de la maille carrée et celles dont la longueur correspond à une « diagonale ». Constater que chaque contour d’enclos est composé de quatre barres de chacune des deux sortes.

- Comprendre que « ce qu’il y a à brouter » dans l’enclos ou « plus d’herbe à manger » se réfère à l’aire de l’enclos, que la forme de l’enclos peut changer mais que le périmètre doit rester le même.

- Vérifier sur les deux enclos dessinés que le périmètre est le même et comparer leurs aires. Pour cela, trouver que les aires des enclos peuvent s’exprimer en « carrés » et/ou en « triangles » (un triangle est la moitié d’un carré). Par exemple, l’aire du lundi vaut 2 carrés entiers et 4 triangles, celle du mardi de 3 carrés entiers et 4 triangles. L’aire de l’enclos du mardi est effectivement plus grande que celle de l’enclos du lundi. Stratégies de résolution :

- Dessiner de façon aléatoire un enclos pour mercredi de forme différente des deux premiers, le retenir si son périmètre est égal à 4 barres longues et 4 courtes. Déterminer son aire et le retenir si elle est supérieure à celle de l’enclos du mardi.

- Chercher à réaliser un enclos délimité par 4 grandes barres et 4 petites. Procéder ensuite comme précédemment pour l’aire.

- Chercher à réaliser un enclos en tenant simultanément les deux contraintes sur le périmètre et l’aire : 4 barres longues et 4 courtes et à l’intérieur plus de 3 carrés et 4 triangles ou une surface équivalente à 5 carrés ou 10 triangles.

Quelques solutions pour le mercredi (A, B, C, D, E).

- Donner une explication montrant qu’il y a un comptage des carrés ou triangles ou nombre de points intérieurs (selon le théorème de Pick, l’aire en carrés vaut le nombre de points intérieurs + la moitié du nombre de points sur la frontière – 1. Les élèves ne peuvent pas le savoir, mais l’intuition « plus il y a d’arbres à l’intérieur, plus grande est l’aire » est à accepter comme explication).

Notions mathématiques

aire, polygone, côté, diagonale, unité, carré, quadrillage, réseau, périmètre, comparaison

Résultats

15.I.04

Résultats sur 540 classes de 13 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète : (deux figures trouvées, en progression, respect des longueurs de perches), avec explications
• 3 points: Réponse complète avec explications peu claires ou manquantes
• 2 points: Réponse partielle avec deux des trois conditions précédentes (par exemple deux figures, en progression, mais avec 8 côtés en « diagonale »)
• 1 point: Réponse partielle avec une seule des trois conditions précédentes
• 0 point: Incompréhension du problème, non-réponse.

25.I.04

Résultats sur 1527 classes de 19 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète (une figure trouvée avec l’aire plus grande et respect des longueurs des barres de bois) avec explications claires (littérales ou dessins avec dénombrement des carrés entiers et demi-carrés)
• 3 points: Réponse complète mais sans explication ou sans dénombrement des carrés entiers et demi-carrés
• 2 points: Une figure différente de celle de mardi mais de même aire et vérifiant les conditions sur la longueur du contour
• 1 point: Une figure d’aire plus grande que celle de mardi mais ne vérifiant pas les conditions sur le périmètre
• 0 point: Incompréhension du problème, non-réponse

Par rapport au 15e rallye les critères d’attribution des points ont été un peu assouplis. Les moyennes obtenues sont par conséquent légèrement supérieures, mais les procédures et obstacles restent les mêmes.

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