La mucca nel frutteto (I)

Identificazione

Rally: 15.I.04 ; categorie: 3, 4 ; ambiti: GM, GP
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• CA/P - Confrontare aree su una quadrettatura
• QUA - Lavorare su una quadrettatura
• QUA/GQ - Gestire poligoni su carta quadrettata

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Sunto

Realizzare su un piano puntato a maglie quadrate una superficie poligonale di uguale perimetro, ma di area più grande rispetto ad una assegnata. I lati del poligono devono essere costituiti dai lati o dalle diagonali delle maglie del piano ed esattamente 8 punti del piano devono essere situati sulla linea poligonale.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Interpretare il disegno della pianta del frutteto: individuare gli alberi, i pali di diversa lunghezza e i differenti recinti.

- Osservare i contorni dei recinti e riconoscere che ci sono due tipi di pali, quelli la cui lunghezza corrisponde ad un “lato” della maglia quadrata e quelli la cui lunghezza corrisponde ad una “diagonale”. Constatare che ogni contorno dei recinti è composto da quattro pali di ognuno dei due tipi.

- Capire che “pascolare l’erba” nel recinto o “più erba da mangiare” si riferiscono all’area del recinto, che la forma del recinto può cambiare, ma il perimetro deve restare lo stesso.

- Verificare sui due recinti disegnati che il perimetro sia lo stesso e confrontare le loro aree. Per fare questo, trovare che le aree dei recinti possono esprimersi in quadrati e/o in triangoli (un triangolo è la metà di un quadrato). Per esempio, l’area del recinto di lunedì vale due quadrati interi e 4 triangoli, quella di martedì 3 quadrati interi e 4 triangoli. L’area del recinto di martedì è effettivamente più grande di quella del recinto di lunedì.

Strategie di risoluzione:

- Disegnare a caso un recinto per mercoledì di forma diversa da quella dei primi due, conservarlo se il suo perimetro è uguale a 4 pali lunghi e 4 corti. Determinare la sua area e conservarlo se essa è superiore a quella del recinto di martedì.

- Cercare di realizzare un recinto delimitato da 4 pali lunghi e 4 corti. Procedere, in seguito, come prima per l’area.

- Cercare di realizzare un recinto tenendo conto simultaneamente dei due vincoli sul perimetro e sull’area: 4 pali lunghi e 4 corti e all’interno più di 3 quadrati e 4 triangoli o una superficie corrispondente a 5 quadrati o 10 triangoli. Qualche soluzione per mercoledì (A, B, C, D) (E)

- Dare una spiegazione mostrando che c’è un conteggio di quadrati o triangoli o numero di punti interni (secondo il teorema di Pick, l’area in quadrati vale il numero dei punti interni + la metà del numero di punti sul contorno – 1. Gli alunni non possono saperlo, ma l’intuizione “più alberi ci sono all’interno, più grande è l’area” è da accettare come spiegazione).

Nozioni matematiche

area, poligono, lato, diagonale, unià, quadrato, quadrettatura, réseau, perimetro, confronto

Risultati

15.I.04

Punteggi attribuiti su 494 classi di 12 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta completa (una figura trovata con l’area più grande e rispetto delle lunghezze dei pali), con spiegazioni chiare (a parole o disegni con conteggio dei quadrati interi e dei triangoli)
• 3 punti: Risposta completa, ma senza attribuzione dei giorni o senza spiegazione o senza conteggio dei quadrati interi e dei triangoli
• 2 punti: Una figura diversa da quella di martedì ma con la stessa area e che verifichi le condizioni sulla lunghezza del contorno
• 1 punto: Una figura con l’area più grande di quella di martedì, ma che non verifica le condizioni sul perimetro
• 0 punto: Incomprensione del problema