Banque de problèmes du RMT
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Comparer l’aire de figures dessinées sur une grille à maille rectangulaire dans lesquelles apparaissent des carrés (demi-rectangles), des triangles rectangles isocèles (demi-carrés) et des trapèzes rectangles ; dans un contexte de lettres à peindre sur un mur.
Les élèves doivent se rendre compte que la quantité de peinture dépend de la grandeur des surfaces à recouvrir et qu’il faut trouver un moyen de les comparer : par découpage et recollement, par pavage avec une ou plusieurs formes et, après adoption d’un pavé unité, par comptage.
La prise en compte de l’aire, nécessite de dépasser l’idée de mesurer le pourtour des chiffres à peindre (conflit aire/périmètre) ou de compter les fragments de briques (conflit nombre/aire des parties).
Parmi les unités les plus naturelles pour ce contexte, il y a la « brique » (rectangle) et la « demi-brique » (carré), mais, dans un cas comme dans l’autre, il faudra tenir compte des triangles rectangles (demi-carrés) et des trapèzes (3/4 de brique ou 1 carré et demi) qu’il faudra convertir en briques ou en carrés.
Une fois l’unité choisie et les règles d’échange assimilées, il faut encore organiser le comptage de manière rigoureuse car les différentes formes qui apparaissent sont nombreuses et disposées différemment dans le « 2 » et le « 5 » qui restent à peindre.
On peut remarquer qu’il n’est pas utile de déterminer l’aire des « 0 », selon un principe d’équivalence encore intuitif.
Il ne reste plus alors qu’à conclure : expliquer que c’est Marc qui utilisera le plus de peinture, en disant par exemple que le « 2 » contient l’équivalent de 17 briques rectangulaires alors que le « 5 » contient l’équivalent de 18 de ces briques.
aire, unité d’aire, carré, rectangle, triangle isocèle rectangle, trapèze rectangle, dénombrement
Points attribués sur 402 copies:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 81 (46%) | 56 (32%) | 17 (10%) | 16 (9%) | 5 (3%) | 175 | 0.9 |
| Cat 4 | 100 (44%) | 48 (21%) | 27 (12%) | 25 (11%) | 27 (12%) | 227 | 1.26 |
| Total | 181 (45%) | 104 (26%) | 44 (11%) | 41 (10%) | 32 (8%) | 402 | 1.1 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
La tableau ci-dessus montre que la tâche est difficile dans les conditions de passation des épreuves du RMT : sans la présence de l’enseignant et sans aucune aide extérieure.
Un examen détaillé de 68 copies de Suisse romande permet toutefois d’atténuer l’impression d’échec liée au pourcentage élevé de l’attribution « 0 point » corespondant à Incompréhension du problème ou prise en compte des périmètres, estimations visuelles
Sur ces copies on a relevé quatre procédures :
1. Dénombrement des briques (dans environ la moitié des cas)
C’est la procédure « experte », par mesure d’aire selon une même unité : la « brique» rectangulaire ou le carré (demi-brique). Elle exige plusieurs « conversions » d’unités : deux triangles pour un carré, deux carrés pour un rectangle, un trapèze rectangle et un triangle pour un rectangle et un dénombrement rigoureux. Par conséquent, la moitié de ces procédures sont entachées d’erreurs de comptage, en particulier pour les élèves les plus jeunes.
2. Dénombrement des parties de briques à l’intérieur des briques (dans environ un tiers des copies)
Dans cette procédure, les nombres de rectangles, de carrés, de triangles et de trapèzes sont additionnés, sans tenir compte de la grandeur de ces figures ; c’est-à-dire sans la définition d’une unité commune.
Cet attrait pour le « nombre de pièces » est bien naturel vers 8 à 9 ans. C’est la manière la plus simple de calculer, évidemment inadéquate dans ce cas, mais efficace dans de nombreuses situations rencontrées précédemment. C’est aux élèves eux-mêmes que revient la tâche de rejeter ce comptage élémentaire pour prendre en compte ce concept nouveau d’aire, lié à « l’étendue » ou à la « grandeur » des pièces.
3. Comparaison par superposition/décomposition ou par recouvrement progressif (dans 10% des cas)
Dans cette procédure, on ne s’intéresse pas à l’aspect numérique de la mesure. Il n’y a pas de nombre de parties ou d’unités. On découpe, on colorie des pièces identiques de part et d’autre, jusqu’à voir apparaître un reste d’un côté alors que l’autre est entièrement colorié.
4. Prise en compte des périmètres des lettres pour déterminer la quantité de peinture. (dans 10% des cas)
Parmi ces procédures, il y a les mesures de longueurs avec une règle graduée et une addition correspondante mais aussi le comptage des segments du périmètre :
On a compté les traits du 5 et du 2 et on a vu que le 5 avait plus de traits. Comme les deux 0 sont les mêmes on ne les a pas comptés et alors le 5 a 15 traits. Et le 2 a14 traits. C’est Marc qui peint le plus !
Le problème RMT 2005 a été conçu spécifiquement pour une exploitation en classe, après la passation de l’épreuve, dans la mise en place du concept de mesure d’aire et, pour faire prendre conscience aux élèves de la nécessité d’une unité commune.
La réponse « C’est Marc qui utilisera le plus de peinture » n’a donc d’intérêt que si elle entre en conflit avec l’autre réponse attendue : « C’est Sophie qui utilisera le plus de peinture car il y a 27 pièces dans le « 2 » et seulement 24 dans le « 5 ».
On peut ainsi exclure une exploitation du problème « sans intervention de l’enseignant » ou « avec une trace écrite seulement » et n’envisager que qu’une « mise en commun » des solutions trouvées par les élèves ou groupes d’élèves.
Les expérimentations de ce problème ont montré en effet que les deux réponses « Marc » - sur la base d’assemblages des différentes parties de brique - et « Sophie » - par un simple comptage de parties - apparaissent presque toujours au sein d’une même classe, aux degrés 3 ou 4 et même encore au degré 5. Les tentatives de mesurage des périmètres des deux chiffres 2 et 5, bien que longues et peu précises, sont aussi fréquentes à ces degrés, par un usage non raisonné de l’instrument qui « fonctionne » si bien pour les longueurs : la règle graduée.
Anselmo B., Bisso C., Grugnetti L.: 2011 ‘Il rettangolo...non così evidente”, in La Gazzetta di Transalpino, n. 1, sito dell’ARMT: www.armtint.org
Bisso, C, Grugnetti, L..: 2007a, ‘Il ruolo dei problemi del RMT nella costruzione del concetto di area’, in L. Grugnetti, F. Jaquet, D. Medici, M. G. Rinaldi, I problemi del RMT nella didattica quotidiana/ les problèmes du RMT dans la pratique de la classe, Parma 2006, Sezione ARMT di Parma, ARMT, 25-36.
L. Bisso, C., Grugnetti, (a cura di): 2007b, ‘La costruzione del concetto di area con problemi del RMT’, in IBIDEM, 169-187.
Grugnetti, L., Bisso, C., Pretto, M., Iesu, N., Polo, M., Tanda, M. F.: 2006, ‘Aspetti didattici della “argomentazione” nei problemi del RMT’, in R. Battisti, R. Charnay, L. Grugnetti, F. Jaquet (Eds.), RMT : des problèmes à la pratique de la classe/RMT: dai problemi alla didattica quotidiana, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, Bourg-en-Bresse 2004, Arco di Trento 2005, ARMT, IUFM de Lyon-Centre de Bourg-en-Bresse, IPRASE Trentino, 120-134;
Jaquet F., étudiants de la HEP Bejune de la classe de Gaggero A., (2005), « 13e Rallye mathématique transalpin, les problèmes de la première épreuve », Math-Ecole n°214 (21-33), Institut de mathématiques (Neuchâtel)
Jaquet F., Points de départ Grand N 86. 2010
Jaquet F. Ateliers de résolution de problèmes avec matériel. Vol I. 2007. ARMT. Relecture : R. Charnay. Mise en page et couverture : L. Grugnetti. (Presscolor Quartu S. Elena (CA - I) 80 p. (17 x 24,5 cm)
Rouche N. (1992), « Le sens de la mesure », Formation Didier Hatier
(c) ARMT, 2005-2024