La boîte

Identification

Rallye: 11.F.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: GP
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Rechercher l’aire d’un rectangle de 112 cm de périmètre, composé lui-même de quatre rectangles isométriques, trois disposés côte à côte, le quatrième perpendiculairement aux autres; dans le contexte d'une boîte de quatre compartiments.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Observer la décomposition d’un rectangle en quatre rectangles isométriques, trois côte à côte et le quatrième perpendiculairement aux trois premier, et en déduire les rapports entre le périmètre, la longueur et la largeur à l’aide d’une unité commune : la largeur d’un des quatre rectangles isométriques. Avec cette unité commune, les dimensions du rectangle sont 3 et 4, son périmètre 14 correspondant à 112

Par proportionnalité, calculer la largeur (24 cm), la longueur, (32 cm) et l’aire du rectangle donné (768 cm2).

Notions mathématiques

rectangle, unité de mesure, aire, longueur, périmètre, pavage, proportionnalité

Résultats

11.F.09

Points attribués sur 108 classes finalistes de 14 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse juste (768 cm2 ou 768) avec explications détaillées (la division 112 : 14, 24 et 32 apparaissent explicitement, ou un dessin avec toutes les mesures indiquées)
• 3 points: Réponse juste avec explications partielles ou réponse « 768 cm » (erreur d’unité) avec explications détaillées
• 2 points: Réponse juste sans autre explication ou réponse fausse due à une erreur de calcul qui apparaît dans les détails
• 1 point: La solution respecte le périmètre, mais pas l’égalité des pièces et l’aire est calculée de manière cohérente
• 0 point: Incompréhension du problème

La moyenne passe de 0,7 en catégorie 5 (10-11 ans) à 2,3 en catégorie 7, ce qui témoigne d’une tâche très difficile pour les élèves les plus jeunes à une tâche plus facile pour les plus âgés, où ne subsiste que la confusion habituelle d’unité (cm au lieu de cm2), 14%, alors que le taux d’ »incompréhension du problème » chute à 16%.

On peut à ce propos signaler l’homogénéité des résultats obtenus pour une tâche tout à fait comparable La table de jardin à quatre ans d’intervalle. Les moyennes sont de 1,21 points (contre 1,27) en catégorie 6 et 2,03 points (contre 3,0) en catégorie 7,provenant de 757 classes ayant participé à la première épreuve du 15e RMT (mais non finalistes!)

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Il n’y a en fait qu’une seule procédure qui peut conduire à la réponse, en quatre séquences dont l’ordre est imposé par la logique interne du problème :

1. Observer que la largeur de la boîte, à la base, est constituée de trois segments isométriques, qui se répètent 4 fois dans la longueur. Cette phase implique la perception de l'équivalence des trois « largeurs » et d'une « longueur », conservée lorsque les rectangles ont subi une rotation de 90 degrés. On fait appel ici à la maîtrise de l’isométrie, la recherche d’une unité de longueur et l’expression d’une autre dimension à l’aide de cette unité.
2. Comprendre par conséquent que le demi-périmètre est constitué de 7 unités de longueur (ou que le périmètre est constitué de 14 unités). Il faut ici faire appel à l’addition de mesures.
3. Convertir les unités de longueur précédentes en cm, ce qui fait intervenir la proportionnalité avec, le plus souvent, le passage à l’unité (112 : 2) : 7 = 8. La largeur correspondra à 8 x 3 = 24 et la longueur à 8 x 4 = 32.
4. Calculer l’aire : 768 (24 x 32) cm2.

Il n’y a pas vraiment « d’erreurs » pour les 74% des groupes de 5e année et pour le 61% de ceux de 6 année ayant obtenu « 0 point » (« incompréhension du problème »). Il s'agit d'obstacles d’ordre génétique qui empêchent les élèves de 10 à 12 ans « d’entrer » dans le problème car ils n’ont pas encore construit la concept d’unité de longueur, ou parce qu’ils ne savent pas le mettre en œuvre lorsque les segments mesurés ne sont pas parallèles, ou encore, parce qu’il est prématuré pour eux de gérer une situation de proportionnalité comme celle des conversions d’unité.

Exploitations didactiques

Dans les conditions de passation d’une épreuve du RMT, même pour des finalistes, en fin d’année scolaire, la résolution du problème « La boîte » est hors de portée d’une majorité d’élèves de 10 à 12 ans. Dans une pratique habituelle de classe, les conditions changent car le maître est là ; il peut organiser des mises en commun, des validations intermédiaires. Il peut même arriver à « faire réussir » le problème en prenant à sa charge des moments clés de la résolution ; mai on n’atteindrait pas le but de l’activité.

Il faut attendre le niveau de la 7e année (12-13 ans) ou la fin de la sixième année pour s’attendre à ce que les élèves puissent profiter des obstacles de la situation pour tenter de les surmonter, de les contourner et de progresser ainsi dans leurs apprentissages, autour de la mesure, des conservation de longueurs dans les isométries, de la proportionnalité.

La situation est riche et demandera d’être exploitée, après la résolution, en phase de validation des solutions puis d’institutionnalisation. La clé est, ici, la découverte d'une unité commune de longueur (la largeur d'un des quatre rectangles, permettant d'exprimer la longueur puis le périmètre.)

Des variantes, choisies parmi les autres problèmes de la sous-famille, pourront être proposées ensuite pour renforcer ou vérifier les nouveaux savoirs acquis.

Voir aussi La table de jardin et Le parquet

Bibliographie

Points de départ : La Boîte, in Grand N No 85, 2010 pp. 7, suivi de « premières réflexions » (F. Jaquet) pp. 9-11.

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