Banca di problemi del RMT
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Comparer les aires internes et externes d’un polygone dessiné sur une grille quadrillée, avec un axe de symétrie et ses sommets sur des intersections du quadrillage
Décontextualiser la situation : passer de l’image du « cœur en rouge » et du « reste du carré en bleu » aux figures géométrique correspondante et comprendre que l’expression « la plus grande partie » se réfère aux aires des figures.
Décomposer, mentalement ou par le tracé de segments, les deux formes en figures plus simples ou élémentaires : carrés du quadrillage ou triangles.
Selon la décomposition effectuée, compter les carrés du quadrillage après avoir effectué les regroupements ou compensations nécessaires pour avoir des carrés entiers ou déterminer l’aire des triangles. Effectuer les additions correspondantes et comparer les aires totales.
Savoirs mobilisés du domaine géométrique : concept d’unité d’aire (carré du quadrillage), équivalence et transformation d’unité d’aire, décomposition ou recomposition de parties de carrés du quadrillage par déplacements (translations ou rotations), calcul de l’aire du rectangle sur quadrillage ; dans le domaine arithmétique : dénombrement, addition,
polygone, quadrillage, aire, décomposition, triangle, carré, unité, dénombrement
Sur la base de 1673 classes de 22 sections.
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 118 (20%) | 149 (25%) | 124 (21%) | 66 (11%) | 128 (22%) | 585 | 1.89 |
| Cat 6 | 163 (15%) | 301 (28%) | 240 (22%) | 161 (15%) | 223 (20%) | 1088 | 1.98 |
| Totale | 281 (17%) | 450 (27%) | 364 (22%) | 227 (14%) | 351 (21%) | 1673 | 1.95 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères d'attribution des points suivants :
Sur les premières copies examinées, on repère deux grandes catégories de procédures :
1. Par triangles
La partie inférieure est décomposée en deux rectangles de 3 × 4 partagés chacun en deux triangles rectangles par le pourtour de la figure. La partie supérieure est décomposée en deux carrés centraux de 2 × 2 et deux rectangles à droite et à gauche de 1 × 2, chacun de ces polygones étant partagée en deux triangles rectangles par le pourtour de la figure.
« L’explication » peut se présenter sous différentes formes :
- les mesures d’aire (en carrés unités de la grille) sont écrites dans chaque triangle : 1 et 2 dans la partie supérieure, 6 dans la partie inférieure ; parfois sans commentaires, parfois avec une description détaillés du genre : Nous avons tout découpé en carrés ou en rectangles. Dans un carré ou un rectangle il y a deux triangles. Nous avons calculé l’aire des rectangles et carrés. Nous avons divisé par deux l’aire des rectangles et carrés pour avoir l’aire des triangles. Nous avons additionné la totalité du cœur Nous avons additionné la totalité du reste. Nous avons fini par trouver que le cœur et le reste ont la même aire.
- des doubles flèches indiquent les rectangles équivalents, les uns en rouge leurs correspondants en bleu
- des commentaires sur la décomposition ou la superposition de parties du genre : Quand on sépare le dessin en plusieurs morceaux on constate que c’est la même partie dans le cœur ou hors du cœur.
ou encore : Nous avons remarqué que si on coupait les parties on pouvait les placer sur le cœur. Donc comme sur le dessin (précis, avec six couleurs pour les six rectangles ou carrés) les couleurs sont des parties de l’extérieur qui peuvent être à l’intérieur. Comme on peut mettre toutes les parties de l’extérieur dans le cœur cela signifie que les parties sont égales.
Dans cette catégorie de procédure, il faut aussi relever les superpositions par les parties extérieures après découpage.
2. Par dénombrement des carrés
Les carrés entiers sont pris en compte et les parties de carrés sont regroupées pour reconstituer des carrés entiers. « L’explication » se présenter sous de très nombreuses formes :
- les carrés et parties de carrés sont numérotés, ou coloriés, ou rassemblés par des flèches ;
- un comptage est effectué par marquage des carrés de l’une ou de l’autre des deux parties, le plus souvent suivi du résultat : 18 par partie
- un comptage est effectué sans préciser son déroulement, avec de fréquentes erreurs, par exemple : On a compté les carrés dans le cœur et ceux de l’extérieur, la rouge est plus grande - La partie la plus grande est la partie rouge donc le cœur. J’ai trouvé en comptant les carrés et les demi carrés et les quarts de carrés et j’ai trouvé laquelle avait le plus de carrés.
Chacune de ces procédures s’observe sous de très nombreuses variantes.
Dans les procédures par dénombrement de carré, les obstacles résident dans la recomposition de parties de carrés. Pour la partie supérieure, le pourtour du cœur partage les carrés en demi-carrés triangulaires ou en quarts de carrés triangulaires et trois quarts de carrés trapézoïdaux ; la tâche de recomposition est aisée dans ce cas. Elle est plus délicate dans la partie inférieure où le pourtour suit la diagonale de rectangles de 3 × 4 et partage six carrée en triangles et trapèzes de trois grandeurs différentes, ce qui rend la recomposition beaucoup plus délicate.
Les obstacles et erreurs
Le comptage des carrés conduit par conséquent à des erreurs dans environ un tiers des cas.
De très rares copies font le rapport entre l’aire des deux parties et celles du carré entier. Par exemple : Nous avons compté les carrée entiers(16) puis nous avons regardé combien de carrés il y avait dehors du cœur et nous avons fait 36 – 16 = 20. Résultat : la partie du coeur est a plus grande. (les dimensions du carré sont désignées par « 6 carrés » et le calcul 6 × 6 = 36 figure à côté du dessin). Les calculs d’aires effectués sur la base de mesures en cm et mm sont toujours inefficaces (dans les 6 copies observées sur 82).
Les analyses des copies confirment en tout point les observations faites sur les autres problèmes de cette famille de tâches.
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