Banque de problèmes du RMT
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Montrer que les deux diagonales d'un rectangle le partagent en quatre parties de même aire (dans un contexte de tarte rectangulaire à partager entre quatre enfants).
- S’assurer (éventuellement) que les parts des deux filles sont égales, ainsi que les parts des deux garçons.
- Comparer ensuite une part d’une fille et une part d’un garçon :
Sans faire appel aux calculs d’aire, imaginer et/ou dessiner une trame sur la figure en traçant les médianes du rectangle, ce qui permet d’observer un « pavage » de la figure en 8 triangles rectangles, constater qu’ils sont égaux et en tirer l’égalité des parts, formées chacune de deux de ces triangles. Par mesures prises sur le dessin, se référer à la formule de l’aire d’un triangle et l’appliquer judicieusement.
L’utilisation de la formule fait intervenir la hauteur du triangle, qui n’est pas marquées ici mais qu’il faudra tracer. Ce segment divise une part triangulaire en deux triangles rectangles (du pavage précédent). En remarquant les liens (moitié et double) entre les côtés de l’angle droit de ces triangles rectangles, les côtés du rectangle (tarte), les « bases » et « hauteurs » des parts, on en déduit que les mesures nécessaires au calcul des aires à comparer sont les mêmes. Sans cette constatation, l’imprécision des mesures peut conduire à des aires différentes.
Préalablement à la prise de mesures, il s’agit de se convaincre que, si le périmètre se calcule par une addition des mesures des côtés, le calcul de l’aire exige une multiplication des mesures.
Il faut aussi se rendre compte qu’une simple compensation qualitative (plus long mais moins large) ne suffit pas pour s’assurer de l’égalité des parts.
rectangle, diagonale, triangle, équivalence, partage, aire, périmètre, mesure,
Points attribués sur 2125 copies de 21 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 272 (51%) | 105 (20%) | 22 (4%) | 36 (7%) | 97 (18%) | 532 | 1.21 |
| Cat 5 | 236 (42%) | 87 (16%) | 47 (8%) | 54 (10%) | 133 (24%) | 557 | 1.57 |
| Cat 6 | 450 (43%) | 132 (13%) | 96 (9%) | 101 (10%) | 257 (25%) | 1036 | 1.6 |
| Total | 958 (45%) | 324 (15%) | 165 (8%) | 191 (9%) | 487 (23%) | 2125 | 1.49 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(Sur 124 copies de la section SR)
- Quelques rares copies font état explicitement de l’égalité des parts des deux filles, ainsi que les parts des deux garçons. (par superposition, visuelle ou manipulatoire, ou par symétries axiales ou centrales suivant les niveaux). Dans la grande majorité des cas, cette égalité semble admise implicitement et c’est celle des parts d’une fille et d’un garçon qui est au centre des réflexions.
- 38 copies sur 124 (31%) font apparaître les deux médiatrices des côtés du rectangle qui le « pave » en huit triangles rectangles, permettant une comparaison directe.
Exemple : Explications : Comme vous pouvez le constater j’ai coupé les tranches en deux (les deux médiatrices sont dessinées) et ça fait des triangles rectangles et chaque tranche ont les mêmes triangles rectangles sauf qu’ils sont pas de la même manière alors chaque enfant ont la même quantité de tarte.
- 6 (5%) explications concluent à l’égalité par « compensation » qualitative.
Exemple : … Celles de Marie et Sara sont plus larges et celles de Luc et Charles sont plus longues donc ils ont la même part. C’est Sara et Marie qui ont raison.
- 33 (27%) des copies font apparaître les mesures des côtés des parts et le calcul du périmètre, et concluent que la part des filles est plus grande.
- 15 copies (12%), de catégorie 6 en majorité, présentent des produits de mesures. 12 d’entre elles se rapportent clairement à la formule de l’aire du triangle (une base et la hauteur correspondante sont mesurées). La conclusion dépend de la précision des mesures et, évidemment de la formule appliquée.
- On trouve encore quelques procédures par découpages, tentatives de pliages et recouvrements ou recherches d’autres unités, qui en général ne concluent pas à l’égalité des parts : 11 (9%) copies.
- Finalement, il y a 21 (17 %) copies blanche ou non rendues.
Sur un thème aussi essentiel que la détermination de l’aire d’un triangle, le problème de La tarte de Mamie Lucie offre de multiples possibilités d’exploitations :
- la confrontation entre une procédure par pavage ou par la recherche d’unités d’aire « non-conventionnelle » et la procédure par calcul d’un produit de mesures,
- le lien entre l’aire d’un rectangle et celle des deux triangles rectangles qui le composent,
- l’affrontement directs du conflit aire-périmètre,
- l’imprécision des mesures de longueur prises à la règle et ses effets sur le calcul des aires,
- l’approche de raisonnement déductifs à propos de la partition d’un rectangle par ses diagonales et médiatrices, des mesures des longueurs et des aires des huit triangles rectangles.
Jaquet.F.: (2014) A propos de triangles In Math-Ecole 222 pp 69-75
Anselmo B., Henry M., (2015) Les problèmes du Rallye Mathématique Transalpin, une ressource pour la formation des enseignants ? in Actes du XXXXIIe colloque COPIRELEM, IREM de Franche-Comté.
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