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Identificazione

Rally: 30.I.12 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambiti: LR, OPN
Famiglie:

• ADD - Cercare una somma o una differenza di numeri
• CO - Cercare combinazioni
• CO/DEN - Contare combinazioni

Remarque et suggestion

Sunto

Determinare tutte le possibilità di ottenere il numero 55 come somma di cinque numeri naturali diversi, di cui il minore è 8.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere che i quattro numeri cercati sono diversi e maggiori di 8 e che la loro somma è 47 (55 – 8), poi rendersi conto che occorrerà trovare le possibilità a una a una.

- L’organizzazione dell’«inventario» è il compito essenziale del problema. Per trovare tutte le somme possibili e assicurarsi che non ci sono doppioni è assolutamente necessario immaginare una strategia che permetta di tenere il conto delle soluzioni che si scrivono.

- Rendersi conto che bisogna procedere per tentativi e che si tratta di organizzare l’elenco delle addizioni possibili, identificando quelle che variano solo per l’ordine degli addendi.

- Un modo organizzato di costruire l’elenco può essere quello di partire dalla più piccola somma di tre numeri successivi e poi modificare volta per volta i 2 o 3 numeri dopo il primo procedendo con ordine. Si ottengono così 6 soluzioni:

  9 - 10 - 11 - 17	9 – 11 - 13 - 14	10 – 11 – 12 - 14
  9 - 10 - 12 - 16	9 - 11 - 12 - 15
  9 - 10 - 13 - 15

Nozioni matematiche

addizione, sottrazione, somma, associatività, commutatività, scomposizione, combinazione

Risultati

30.I.12

Punteggi attribuiti su 3337 classi di 21 sezioni:

Secondo i criteri determinati dall'analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta, le 6 possibilità
• 3 punti: Risposta con un errore (dimenticanza, doppione, mancato rispetto di una condizione)
• 2 punti: Risposta con due errori
• 1 punto: Risposta con tre errori o quattro
  oppure inizio di ricerca coerente (ma con una condizione non rispettata: 55 o 8)
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Tous les groupe ont compris qu’il fallait faire des essais mais un tiers seulement sont arrivés à une organisation efficace permettant d’arriver aux six solutions.

Les erreurs sont des oublis dans des listes qui semblent bien organisées à première vue, par exemple :

  8 + 9 + 10 + 13 + 15 = 55
  8 + 9 + 10 + 12 + 16 = 55
  8 + 9 + 11 + 12 + 15 = 55
  8 + 9 + 10 + 11 + 17 = 55

où la quatrième ligne aurait dû être placée dans le groupe des trois solutions commençant par 8 + 9 + 10, ce qui aurait permis d’écrire les deux seules solutions commençant par 8 + 9 + 11 et se rendre compte qu’il n’y en a plus qu’une autre commençant par 8 + 10 + 11.

D’autres erreurs sont dues à des doublons, suite à une disposition peu ordonnée.

D’autres encore présentent des nombres inférieurs à 8.

On trouve même des présentation de plus de 30 solutions, ne respectant ni la somme 55, ni l’obligation de nombres différents, ni le minimum de 8.

Indicazioni didattiche

On se rend compte, en examinant les copies, de la difficulté d’une organisation et d’une écriture des solutions permettant de les énumérer progressivement.

Ce « savoir » ne figure pas dans les programmes « officiels » de mathématiques car il y a de très nombreuses manières d’organiser un inventaire. Au cours de la mise en commun qui suit la résolution du problème, les élèves doivent constater que l’organisation rigoureuse est absolument nécessaire.

C’est aussi l’occasion de pratiquer les propriétés de l’addition et des décompositions additives.

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