Banque de problèmes du RMT
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Trouver tous les couples possibles de nombres à deux chiffres dans lequel le chiffre des dizaines de l’un correspond au chiffre des unités de l’autre et vice versa, donnant la même différence.
Analyse a priori
- L’appropriation du problème nécessite la compréhension que chaque année les âges changent et augmentent d’une unité, l’an prochain ils auront 38 et 74 ans, l’année suivante 39 et 75 ans et ainsi de suite ; que les âges avancent au même rythme dans le temps et que l’écart reste constant ; la différence des âges 73 – 37 = 36 reste toujours la même.
- On pourrait alors partir de 0 et 36 ou 10 et 46.
- On peut construire deux suites en relation du type :
Martine 0 3 4 15 26 37 48 59 70...81 Marc 36 39 40 51 62 73 84 95...106...117
et ainsi trouver toutes les solutions.
- Il faut savoir limiter les deux suites : 64 et 100 (et au-delà) ne conviennent pas car ils ne remplissent pas la condition « nombres à deux chiffres » ; de même 09 et 45 (et en deçà).
- On peut aussi remarquer que, pour trouver tous les âges qui nous intéressent, on doit à chaque fois ajouter 11 à chaque nombre du couple (15, 51) : (26, 62) (37, 73) (48, 84) (59, 95).
- Ou alors commencer par la différence entre 73 et 37 = 36 ; chercher ensuite les nombres dont la différence entre les chiffres des unités est 6 (par exemple 11 – 5 = 6; 12 – 6 = 6 .; 13 – 7 = 6 ; 14 – 8 = 6 ; 15 – 9 = 6), puis en déduire que les chiffres des dizaines peuvent être obtenus par l'échange avec ceux des unités. Par exemple, de 14 – 8 = 6, voir que 84 et 48 conviennent.
- Ou exclure tous les âges de Martine plus petits que 10 ; essayer d’inverser les chiffres à partir de 12 et comprendre que la différence augmente toujours de 9, jusqu’à arriver à 15 et 51, où la différence est vraiment 36. Comprendre qu'au-delà du 15 la différence augmente. Passer à la dizaine suivante, en partant de 23 et trouver 26 et 62, dont la différence est 36. On comprend ici qu'il y a une régularité ; nous arrivons ainsi aux âges indiqués dans le texte, 37 et 73 ; les autres âges qui conviennent seront 48 et 84 et 59 et 95, parce qu’à chaque fois les âges augmentent de 11 (une dizaine plus une unité).
- Ou encore, en s’appuyant sur les caractéristiques de la numération décimale de position, poser que l’âge de Marc est de 10 a + b et que l’âge de Martine est alors de 10 b + a (a et b étant des nombres entiers entre 0 et 9, avec a > b (car Marc est plus âgé).
- On doit donc avoir 10 a + b = 10 b + a + 36, d’où 9 (a – b) = 36 et donc a – b = 4. Le cas b = 0 est exclu car on doit trouver des nombre à deux chiffres. On trouve donc b = 1 et a = 5 (15 ans et 51 ans), b = 2 et a = 6 (26 ans et 62 ans), b = 3 et a = 7 (exemple donné dans l’énoncé), b = 4 et a = 8 (48 ans et 84 ans), b = 5 et a = 9 (59 ans et 95 ans).
chiffre, nombre, numération, base 10, soustraction, différence, position, permutation, période
Points attribués, sur 3276 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 194 (14%) | 247 (18%) | 344 (25%) | 284 (21%) | 312 (23%) | 1381 | 2.2 |
| Cat 7 | 85 (8%) | 178 (16%) | 273 (25%) | 227 (21%) | 339 (31%) | 1102 | 2.51 |
| Cat 8 | 47 (6%) | 70 (9%) | 158 (20%) | 190 (24%) | 328 (41%) | 793 | 2.86 |
| Total | 326 (10%) | 495 (15%) | 775 (24%) | 701 (21%) | 979 (30%) | 3276 | 2.46 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Commentaires
Le problème Economies de bougies (11.F.07, cat. 5-6) permet une comparaisons des moyennes de catégorie 6 : 1,55 points sur 33 copies. Les moyennes de ce problème sont plus élevées. (Anniversaires et bougies (16.F.14 cat. 7-10) sur le même thème, n’a pas de résultats disponibles).
Le groupe Numération pourra procéder aux analyses a posteriori. Il sera très intéressant de savoir quelles sont les procédures de résolution adoptées par les élèves.
(c) ARMT, 2017-2024