Banca di problemi del RMT
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Suddividere la sequenza dei numeri naturali da 1 a 162 in tre parti successive distinte sapendo che la prima e l’ultima sommate comprendono 148 numeri e che l’ultima parte contiene 1/3 dei numeri della prima; poi indicare i numeri della seconda parte.
Analisi a priori:
- Comprendere la ripartizione dei numeri: il giornalino Cars è ora al numero 162, Luigi e Enrico hanno insieme 148 numeri, Luigi ha tutti i primi, Enrico tutti gli ultimi e Enrico ne ha un terzo di quelli di Luigi.
- Secondo questi dati, rappresentare mentalmente o attraverso un disegno, la sequenza dei numeri da 1 a 162 e le sue differenti parti: i numeri di Luigi, che sono i primi, quelli che mancano, che sono da determinare, i numeri di Enrico, che sono gli ultimi e che corrispondono a un terzo dei primi.
- Passare nel campo numerico e delle relazioni: la terza parte che vale il 1/3 della prima e la seconda parte con 14 numeri (162- 148).
- Comprendere che la prima e la terza parte (148) sono proporzionali a 3 e 1 (o 3/3 e 1/3), che l’unione di queste due parti corrisponde a 4 nella proporzionalità (o 4/3) e che di conseguenza la ripartizione è 37 (148:4) per la terza parte e 111 (37x3) per la prima parte.
- Identificare in un modo o nell'altro (ce ne sono molti) i 14 numeri della seconda parte iniziando da 112 (111 +1): da 112 a 125.
Oppure:
- Una variante consiste nel considerare che i numeri di Luigi rappresentano i 3/4 (o i numeri di Enrico 1/4) dei 148 numeri che possiedono insieme
Oppure:
- Scrivere i numeri dei giornalini di Luigi, iniziando dal numero1 e procedere di tre in tre. Associare ogni volta ai tre numeri di Luigi uno numero di Enrico partendo dal numero 162. Per esempio: 1-2-3 .... 162/ 4-5-6...161/ 7-8-9...160/ 10-11-12...159 e continuare finché non si arriva a 148 giornalini in tutto. Quindi determinare i numeri mancanti dei giornalini.
Oppure:
- Procedere per tentativi ed aggiustamenti, per esempio partendo da un numero ipotetico di numeri acquistati da Luigi, calcolare il numero di riviste acquistate da Enrico, calcolare poi la loro somma, e, se è diversa da 148, fare un altro tentativo e così via.
numero naturale, serie di numeri, triplo, terzo, ripartizione proporzionale
Punti attribuiti su 3567 classi di 21 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 283 (33%) | 412 (49%) | 51 (6%) | 50 (6%) | 50 (6%) | 846 | 1.02 |
| Cat 6 | 572 (39%) | 545 (37%) | 118 (8%) | 129 (9%) | 104 (7%) | 1468 | 1.08 |
| Cat 7 | 344 (27%) | 369 (29%) | 201 (16%) | 129 (10%) | 210 (17%) | 1253 | 1.59 |
| Totale | 1199 (34%) | 1326 (37%) | 370 (10%) | 308 (9%) | 364 (10%) | 3567 | 1.25 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :
Le procedure utilizzate sono state essenzialmente quelle indicate nell’analisi a priori, ma è stata rilevata una incomprensione del problema: il 70% dei gruppi non è riuscito a ripartire correttamente i numeri dei giornalini fra i due amici e quelli mancanti. Questo è un’ulteriore conferma dei risultati dei problemi della famiglia PR SP SP/RIP: una ripartizione proporzionale non è ancora adeguatamente accessibile nelle categorie 5 e 6. PR SP SP/RIP).
Tra gli errori si segnalano:
- incomprensione del testo, soprattutto per la cat.5, dovuta probabilmente alla complessità dell’articolazione delle informazioni oltre che alla difficoltà della ripartizione proporzionale;
- incomprensione della relazione tra i giornalini di Luigi e quelli di Enrico e il totale dei giornalini: è stato compreso che il totale dei giornalini acquistati, peraltro considerato come 162 e non 148, poteva essere rappresentato come la somma di tre parti uguali anziché quattro (162:3 = 54 giornalini di Enrico).Tale scelta potrebbe essere stata determinata dalla constatazione che 148 non è multiplo di tre mentre potrebbe essere stata fuorviante la divisibilità per tre del numero 162. Per comprendere meglio, modificando la variabile numerica, potrebbe essere scelto, come numero totale di giornalini usciti, un numero non divisibile per tre, ad esempio il numero 163. In tal modo gli allievi sarebbero indotti ad una lettura più attenta del testo e stimolati ad una maggiore riflessione sui dati del problema;
- confusione tra i numeri 111 e 112 e/o tra i numeri 126 e 127, anche tra gli elaborati che mostrano una corretta comprensione della ripartizione. Il motivo di questo fatto potrebbe essere l’ambiguità dell’espressione italiana “da 111 a 112” senza specificare meglio con la parola “compresi” (intervallo aperto o intervallo chiuso).
A priori si era previsto come possibile errore quello di uno scambio tra Luigi ed Enrico, ovvero l’attribuzione ad Enrico del triplo dei giornalini di Luigi, in questo modo Luigi avrebbe avuto i numeri da 1 a 37 ed Enrico da 52 a 162. Tale errore non è però stato riscontrato in nessuno degli elaborati esaminati.
Ci sono stati alcuni elaborati dai quali si evince che non ha dato noia la ripartizione ma che forniscono come risposta 37 e 111 ovvero il numero dei giornalini di Enrico e di Luigi, intesi come quantità: ciò denota una lettura superficiale della domanda.
E’ evidente che questo problema, risolto in classe in gruppi, susciterà diversità di risposte che potranno essere confrontate durante una discussione collettiva che dovrebbe condurre alla soluzione in due tappe:
- appropriazione, dove si constata che Luigi ha un certo numero di giornalini, dal n.1 a un numero ancora sconosciuto mentre Enrico ha un altro numero di copie, da un numero sconosciuto al numero 162 e che, insieme, hanno 148 copie. (Ne mancano 14 per arrivare alla collezione completa);
- ripartizione, dove le 148 copie sono divise tra i due ragazzi, sapendo che una di queste è un terzo dell’altra, ovvero che una è il triplo dell’altra. In termini matematici, si tratta di comprendere che la parte di Luigi corrisponde a 3, quella di Enrico corrisponde a 1 e che il totale (148) corrisponde a 4 (= 3+ 1): senza alcun formalismo né terminologia specifica della “proporzionalità”.
Per avviare alla concettualizzazione della proporzionalità, pur considerando che la sua acquisizione avviene a partire dalla scuola secondaria di 1° grado, è importante iniziare fin dai primi anni della scuola primaria con esperienze anche ludiche, attraverso attività di scambio di oggetti di uso comune (ad esempio n matite per m figurine) o di preparazione di materiali o di ricette.
E’ fondamentale inoltre abituare gli alunni alla discussione e all’argomentazione non solo per arrivare ad una verbalizzazione scritta adeguatamente chiara e corretta ma anche perché attraverso la “negoziazione” delle proposte si “costruiscono” significati e si sviluppano l’apertura e la consapevolezza.
Il problema suggerisce anche:
- di affrontare il significato di frazione, di frazione complementare, delle relazioni tra frazioni e delle relazioni tra frazioni e l’intero;
- di fare maggiore attenzione al linguaggio utilizzato in riferimento agli estremi di un range di ricerca, dal momento che nella lingua italiana per indicare l’inclusione o meno degli estremi è necessario utilizzare il termine “compresi”;
- di proporre problemi le cui soluzioni debbano essere ricercate in un range prestabilito.
(c) ARMT, 2019-2024