Banca di problemi del RMT
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Trovare i numeri di tre cifre per ciascuno dei quali 1/5 è formato dalle due ultime cifre.
Analisi a priori
- Comprendere la situazione: se si cancella la cifra delle centinaia del numero di tre cifre di Sofia, si ottiene un numero di due cifre 5 volte più piccolo.
- Rendersi conto che :
- Considerare i multipli di 5 a due cifre: 10, 15, 20, . . . moltiplicare ciascuno di essi per 5 e trovare che solo 25 × 5 = 125, 50 × 5 = 250, 75 × 5 = 375 sono numeri che hanno le caratteristiche di quello scritto da Sofia.
Oppure, procedere per tentativi verificando ogni volta che il numero trovato soddisfi a tutte le condizioni. Per questa strada non si è sicuri di trovare tutte le soluzioni.
Oppure, procedere per tentativi mirati a partire dalla seguente equazione: 100c + 10d + u = 5(10d + u) con c, d, u numeri naturali da 0 a 9 e c ≠0.
- Concludere che Sofia può aver scritto uno dei seguenti tre numeri: 125, 250, 375.
aritmetica, rappresentazione decimale, divisione, divisibilità, multipli, sistema posizionale, approccio algebrico
Punteggi attribuiti su 2665 classi di 20 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 131 (27%) | 132 (27%) | 110 (22%) | 76 (15%) | 44 (9%) | 493 | 1.53 |
| Cat 6 | 198 (23%) | 210 (24%) | 242 (28%) | 145 (17%) | 82 (9%) | 877 | 1.66 |
| Cat 7 | 87 (12%) | 119 (16%) | 262 (36%) | 152 (21%) | 110 (15%) | 730 | 2.11 |
| Cat 8 | 58 (10%) | 54 (10%) | 171 (30%) | 182 (32%) | 100 (18%) | 565 | 2.38 |
| Totale | 474 (18%) | 515 (19%) | 785 (29%) | 555 (21%) | 336 (13%) | 2665 | 1.91 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Alcuni hanno escluso i numeri di tre cifre che terminano con ”00”, perché togliendo le centinaia rimane ”00”.
Alcuni, partendo da 100 (primo numero di tre cifre utile) lo hanno diviso per quattro e gli hanno aggiunto il quoziente (25) hanno proseguito analogamente con 200 e 300 (i quozienti sono rispettivamente 50 e 75).
Il ricorso alla scrittura polinomiale ed il conseguente utilizzo dell’algebra, previsti nell’analisi a priori non sono stati rilevati in nessuno degli elaborati esaminati.
La media dei punteggi, bassa in ogni categoria, è imputabile ad errori ed ostacoli di tipo trasversale:
- lettura superficiale del testo con conseguente incomprensione della situazione e dei vincoli;
- il vincolo in corsivo ha catturato l’attenzione a tal punto che si sono limitati ad elencare tutti i numeri, di tre cifre, divisibili per 5 dimenticandosi le altre clausole;
- confusione fra diviso e divisibile: i due termini vengono considerati sinonimi;
- alcuni di fronte alla frase “adesso il tuo numero è stato diviso per 5” hanno capito di dover di dividere per 5 il numero ottenuto dopo l’intervento di Leo (è una difficoltà intrinseca al riconoscimento della sequenza temporale). Con questa interpretazione le soluzioni sono molte, ma i ragazzi si limitano a due o tre, solo in un caso abbiamo 171 soluzioni con un conteggio che procede per centinaia;
- organizzazione di una ricerca esaustiva;
- difficoltà a spiegare il ragionamento seguito, anche se qualche volta mostrano di aver intuito strategie che permettono di limitare il numero di tentativi;
- conoscenza approssimativa della struttura posizionale che non ha permesso, nelle categorie più alte, di mettere “in formula” la situazione.
Il problema può essere utilizzato per proporre o approfondire:
• criteri di divisibilità
• regolarità numeriche
• ordine di grandezza (stabilire il range di numeri in cui muoversi)
• attività di cambiamento di variabili didattiche
• struttura posizionale: presentare la composizione dei numeri in tutti i suoi aspetti (es. 375 è 300+75 ovvero 3h 75u, oppure 3h 7da 5u, oppure 37da 5 u o anche 375u) per una rappresentazione più reale e non standardizzata.
E’ anche un mezzo efficace per stimolare l’interesse degli allievi di categoria più alte verso la scoperta di regolarità che li motiva all’utilizzo di un’impostazione pre-algebrica o algebrica (cfr. la rubrica Per andare più lontano)
Progettare, con gli allievi dalla categoria 8 in poi, attività in classe cambiando le variabili didattiche:
• modificare il divisore
• nei numeri a tre cifre vedere cosa succede se si cancellano la cifra delle decine o quella delle unità, ha ancora senso mantenere il testo “Guarda, adesso il tuo numero è stato diviso per 5” ?
In ogni caso controllare il numero delle soluzioni possibili ed avviare una ricerca collettiva. Attività di questo tipo, secondo noi, stimolano i ragazzi
- a porsi domande,
- ad organizzare una ricerca esaustiva,
- ad utilizzare lo “strumento matematico “ più indicato ed a scoprirne la sua “potenza”,
- a cercare “una dimostrazione” per cose che si scoprono casualmente ma della cui validità non si è “sicuri”
- ad astrarre,
- …
ma soprattutto avviano al “gusto della scoperta” con la conseguente soddisfazione che si prova quando si riescono a dimostrare dei “piccoli” teoremi. Tutto questo porta anche ad un recupero di “affettività” verso la matematica.
(c) ARMT, 2012-2024