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Banca di problemi del RMTop47-it |
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Scomporre 81 in una somma di quattre termini proporzionali a 1, 2, 4 e 5, in un contesto di una raccolta i castagne.
- Capire che ci sono quattro pesi di castagne da determinare, di quelle contenute nei tre cesti e di quelle che rimangono, cosa che porta a 81 kg in tutto; rendersi anche conto che nessuno dei pesi è noto e che bisognerà ricorrere alle relazioni “doppio” e “metà”.
- Osservare che le relazioni “doppio” e “ metà” sono inverse e che “il peso del contenuto del cesto grande è il doppio di quello del cesto medio” significa anche che “il peso del contenuto del cesto medio è la metà di quello del grande” e che, di conseguenza, il peso del resto è lo stesso di quello del contenuto del cesto medio. Tradurre queste considerazioni nella ricerca di quattro numeri: uno “piccolo”, due “medi”, che sono il doppio del “piccolo”, e uno “grande” che è il doppio di ciascuno dei “medi” (o la loro somma) la cui somma è 81.
- Nel procedere per tentativi e aggiustamenti si può partire dal cesto piccolo, scrivere le quaterne possibili: 1, 2, 4, 2 (totale 9), poi 2, 4, 8, 4 (totale 18), poi 3, 6, 12, 6 (totale 27)… e rendersi conto che bisogna procedere fino a 9, 18, 36, 18 per soddisfare la condizione relativa al totale 81 (in kg).
- Procedendo in maniera più sintetica (o pre-algebrica) si può lasciare provvisoriamente uno dei numeri come indeterminato (il minore per esempio) e calcolare la somma di 1 “piccolo”, 2 “piccoli”, 2 “piccoli” 4 “piccoli”, che rappresenta 9 “piccoli”, corrispondenti a 81 (in kg). Rimane poi solo da dividere 81 per 9 per determinare i pesi delle castagne di un cesto piccolo: 9 kg, poi si determinano i pesi delle castagne degli altri cesti e del resto.
Saperi mobilizzati: addizione di numeri naturali minori di 100, calcolo della metà e del doppio, eventualmente divisione (di 81 per 9) con numeri provvisoriamente indeterminati.
numero naturale, metà, doppio, somma, addizione, proporzionalità
Punteggi attribuiti su 2379 elaborati di 21 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
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Cat 5 | 157 (28%) | 95 (17%) | 48 (9%) | 125 (22%) | 134 (24%) | 559 | 1.97 |
Cat 6 | 301 (29%) | 158 (15%) | 109 (11%) | 204 (20%) | 262 (25%) | 1034 | 1.97 |
Cat 7 | 162 (21%) | 59 (8%) | 82 (10%) | 189 (24%) | 294 (37%) | 786 | 2.5 |
Totale | 620 (26%) | 312 (13%) | 239 (10%) | 518 (22%) | 690 (29%) | 2379 | 2.15 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
Secondo le tabelle precedenti, circa 60% dei gruppi di allievi sono stati in grado di gestire la ripartizione di 81 proporzionalmente a 1, 2, 2, e 4.
Su un primo gruppo di un centinaio di elaborati esaminati si osserva una gran varietà di procedure. Si ritrovano quelle descritte nell’analisi del compito ma non è sempre possibile determinare se i tentativi e aggiustamenti siano stati condotti in maniera organizzata, né se la divisione per 9 scaturisca da una “equazione” che traduce la somma dei quattro termini. Quest’ultima procedura appare a partire dalla categoria 6, ma è presente soprattutto nella categoria 7.
Tra gli elaborati che partono da “9” si rilevano numerose volte frasi del tipo: 81 è un multiplo di 9” 0 “81 è il quadrato di 9”. Figurano anche numerosi disegni di cesti o rappresentazioni di quantità nei rapporti 1, 2 e 4.
Tra gli errori, figurano la divisione per 3 che conduce sovente alla risposta e 13,5; 27 e 54 per i tre cesti. La divisione per 2 conduce alla risposta 40,5; 20,25 e 10,125 con un resto di 10,125.
Ci sono anche risposte che non rispettano tutte le condizioni e conducono a 10, 20, 40 e un resto di 11.
Gli elaborati in bianco sono rari, cosa che indica una certa appropriazione della situazione. Anche sugli elaborati corrispondenti a “incomprensione del problema”, ci sono dei cesti disegnati, dei tentati vidi addizione e delle ripartizioni.
Si può facilmente immaginare che, se il problema viene proposto agli allievi della classe intera, per gruppi o individualmente, ma in autonomia e senza aiuto dell’insegnante, appariranno procedure molto diversificate che permetteranno messe in comune e dibattiti interessanti a proposito di:
- combinazione delle relazioni “doppio” o “metà” che permettono un confronto tra ognuno dei quattro pesi nei rapporti 1, 2, 2, 4,
- distributività (o messa in evidenza) che permette di passare da 1 + 2 + 2 + 4 a 9 (in “ceste piccole”),
- legami con la proporzionalità
- cambiamento del valore della variabile peso totale (da 81 a 144 per esempio, o 94,5) per verificare la permanenza del 9 nella ripartizione, dove il peso del cesto piccolo non è sempre 9 (in kg).
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