Banque de problèmes du RMT
pr17-fr
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Banque de problèmes du RMTpr17-fr |
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Trouver les nombres de deux types de motifs disposés en damier, qui décorent un rectangle quadrillé (tapis) de 680 cm sur 440 cm et dont 7 rangs complets, de 11 carrés sur la largeur, sont visibles. (Après avoir déterminé le nombre de rangs dans la longueur).
Sur la figure, trouver le nombre de soleils (39) et de lunes (38), en tenant compte de la régularité dans leur disposition (pour les soleils : 5 dans les colonnes paires et 6 dans les colonnes impaires ; pour les lunes : 6 dans les colonnes paires et 5 dans les colonnes impaires).
Trouver ensuite le nombre de colonnes sur la longueur du tapis par proportionnalité :
Compter qu’il y a 11 lignes (ou carrés) dans la largeur de 440 cm, et trouver le nombre de carrés dans la longueur de 680 cm (la mesure du côté du carré, identique dans les deux dimensions, correspond au rapport de proportionnalité). La mesure du côté d'un carré est 440 : 11 = 40 (en cm), le nombre de colonnes est 680 : 40 = 17.
A partir de là, trouver le nombre de soleils et de lunes sur le tapis de 8 colonnes paires et 9 colonnes impaires :
- soleils : 8 × 5 + 9 × 6 = 94 - lunes : 8 × 6 + 9 × 5 = 93
Rédiger la réponse : « plus de soleils, 94, que de lunes, 93 » et les explications.
Les savoirs mobilisés sont : le dénombrement par comptage ; la distinction pair / impair ; la reconnaissance d’une relation (de proportionnalité) entre les dimensions du rectangle (largeur et longueur) et les nombres de carrés correspondants sur ces côtés ; les opérations d’addition, multiplication, division sur des nombres entiers inférieurs à 200 (pour le calcul de la « 4e proportionnelle et celui des nombres totaux de motifs) ; l’isométrie des côtés d’un carré (pour déterminer le coefficient de proportionnalité).
multiplication, division, proportionnalité, quatrième proportionnelle, linéarité, rectangle, quadrillage
Résultats selon 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 305 (59%) | 61 (12%) | 40 (8%) | 35 (7%) | 76 (15%) | 517 | 1.06 |
| Cat 6 | 401 (49%) | 121 (15%) | 60 (7%) | 79 (10%) | 160 (19%) | 821 | 1.36 |
| Cat 7 | 187 (27%) | 112 (16%) | 57 (8%) | 92 (13%) | 234 (34%) | 682 | 2.11 |
| Total | 893 (44%) | 294 (15%) | 157 (8%) | 206 (10%) | 470 (23%) | 2020 | 1.54 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Procédures de réussite
Les classes qui ont réussi ont franchi une première étape consistant à déterminer qu'un carré a 40 cm de côté et qu'il y a 17 colonnes. Certaines classes ont, en plus, déterminé le nombre total de carrés (187). Le nombre 17 a été déterminé par division de 680 par 40 ou par recherche du nombre qui multiplié par 40 donne 680 (multiplication à trous ou essais de produits et ajustements).
Ensuite, les classes de catégorie 5 et 6 procèdent le plus souvent par dessin du tapis entier et comptage des motifs.
En catégories 6 et 7, l'appui sur un dessin demeure encore très présent, mais le dénombrement des motifs est fait par un calcul (addition, multiplication).
A partir de la catégorie 6, on voit apparaître des raisonnements appuyés sur le fait qu'il y a plus (une de plus) de colonnes impaires que de colonnes paires, avec calcul du nombre de soleils et de lunes.
Apparaît également (mais rarement et au niveau 7), un raisonnement basé sur le fait qu'une "colonne paire compense une colonne impaire" et que, comme il y a une colonne impaire de plus, le nombre de soleils dépasse de 1 le nombre de lunes.
Erreurs
La grande majorité des réponses erronées (tous niveaux confondus) provient apparemment d'une incompréhension du problème, certains nombres qui apparaissent dans les solutions étant cependant difficile à interpréter.
Une erreur qui apparaît un certain nombre de fois est due au fait que les élèves ont considéré que le tapis total avait une longueur double de celle du dessin (sans doute en relation avec le fait que la partie dessinée du tapis occupe à peu près la moitié de la largeur de la page).
Ce problème, dans sa version actuelle, paraît peu adapté pour engager un travail sur la proportionnalité. Ici, aucun élève n'a utilisé le fait que, connaissant le nombre de lunes et de soleils sur 2 colonnes et en tenant compte des régularités, il est possible de déduire le nombre de chaque type d'éléments sur 16 colonnes (8 fois plus) et donc sur 17 colonnes. Cela peut s'expliquer aussi par le fait qu'il n'existe pas relation simple entre la longueur visible du tapis (280 cm) et sa longueur totale (680 cm) ou encore la longueur invisible (400 cm). Cependant, la proportionnalité aurait pu être mobilisée si les élèves s'étaient appuyés sur le fait que le nombre de motifs de chaque type se répète en prenant les colonnes deux par deux : après avoir repéré qu'il y a 11 lunes et 11 soleils sur les 2 premières colonnes, on peut en déduire qu'il y a 8 fois plus de motifs sur 16 colonnes (donc 88 de chaque sorte) et qu'il suffit alors d'y ajouter les nombres de motifs de la 17e colonne.
Par contre, ce problème est plus adapté pour travailler une démarche de type "chaînage arrière" ou "analyse remontante", celle-ci consistant, à partir de la question à déterminer ce qu'il est nécessaire de connaître pour y répondre : ici, la question conduit à se demander quel est le nombre de colonnes du tapis et, pour l'obtenir, il faut comprendre qu'il faut déterminer la longueur du côté d'un carré.
Pour obtenir plus sûrement des raisonnements relatifs à la proportionnalité, il peut être suggéré de poser le même problème avec une longueur totale plus importante, par exemple de 1 600 cm (ou 40 colonnes), ce qui rend plus difficile le dessin et peut inciter à raisonner sur les rapports de longueur ou de nombre de colonnes (par exemple, en s'appuyant sur le nombre de motifs pour 80 cm ou 160 cm ou pour2 colonnes ou 4 colonnes). Il y a alors égalité en les deux nombres de motifs. Ensuite, on pourrait proposer le même problème avec 4 840 cm, les élèves pouvant alors utiliser la proportionnalité pour déterminer le nombre de motifs pour 4 800 cm puis ajouter les motifs de la colonne supplémentaire.
Ce problème a été élaboré à la suite des échecs massifs (13 % de réussite, 49 % d'incompréhension) constatés pour les problèmes Carrelage(I) (cat 5 & 6) et Carrelage(II) (cat 7 à 9). Le dessin proposé induisait fortement les élèves à le prolonger, soit d'une seule colonne, soit jusqu'au bord de la feuille, sans recours au calcul.
Il apparaît que le changement de problème n'a pas sensiblement amélioré les réussites.
(c) ARMT, 2011-2024