Le champ de grand-père

Identification

Rallye: 17.I.12 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: GM, GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• DEC - Découper et/ou assembler des figures

Remarque et suggestion

Résumé

Un carré est partagé en quatre triangles rectangles égaux qui déterminent une cinquième partie: un carré concentrique au premier et dont le côté est égal au petit côté de l'angle droit des rectangles. Comparer les aires des cinq parties.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Observer la figure et constater que, par construction, chacun des quatre triangles est rectangle (l’un de ses angles, dont le sommet est commun à celui du carré intérieur, est droit, comme celui du carré).

- Constater également que la longueur du grand côté de l’angle droit de chaque triangle est constituée d’un côté du carré intérieur et du petit côté d’un autre triangle, lui-même de même longueur que le côté du carré intérieur et que, par conséquent, le grand côté de l’angle droit de chaque triangle est le double du petit côté ou du côté du carré intérieur. Comprendre alors que les quatre triangles sont isométriques et, par conséquent, de même aire.

- Comprendre que le problème consiste à confronter l’aire du carré central avec celle d’un des triangles rectangles :

• par des calculs d’aires : si c est la mesure du côté du carré central, son aire est c2, les mesures des côtés de l’angle droit d’un triangle sont c et 2c et son aire vaut (c2c) / 2 = c². Cette justification au moyen d’écritures littérales, peut aussi se faire par explications verbales, ou en attribuant une valeur numérique au côté du carré central (par exemple 1) et les valeurs correspondantes aux côtés du triangle, ou encore en prenant les mesures nécessaires sur la figure (à condition de respecter explicitement le rapport des côtés du triangle) ;
• par une décomposition en unités d’aire élémentaires, par exemple le pavage par des triangles de la figure 1.
  (À ce propos, il faut constater que le triangle inférieur de la figure est partagé en quatre petits triangles isométriques, dont trois sont images l’un de l’autre par une translation et celui du centre par une symétrie centrale. On n’exigera pas cependant une démonstration plus formelle.)
• par des décompositions et recompositions, par exemple : translation du triangle inférieur pour constituer un rectangle ayant pour largeur le côté du carré et pour longueur le double de ce côté, d’où 2 triangles équivalent (pour l’aire) à 2 carrés et 1 triangle équivaut donc au carré (figure 2) ; ou rotation d’un petit triangle de 180 degrés pour reconstituer un carré avec le trapèze rectangle restant (figure 3) ou transformation du grand carré en cinq carrés en croix en répétant la transformation précédente (figure 4) etc.
  A ce propos de la figure 3, il faut constater que le prolongement du grand côté de l’angle droit d’un triangle coupe le côté du carré initial en son milieu, ce qui pourrait se justifier par Thalès ou par le découpage de la figure 1.)

Notions mathématiques

décomposition de figures, recomposition de figures, aire, carré, triangle rectangle, isométrie

Résultats

17.I.12

Points attribués sur 1670 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Oui) avec une explication claire et complète (Reconnaissance explicite des propriétés des triangles et de leur isométrie, puis équivalence des triangles et du carré par l’une des méthodes prévues dans l’analyse a priori)
• 3 points: Réponse correcte (Oui) avec une explication insuffisante (sans constater explicitement que les triangles sont rectangles et isométriques ou sans décrire les raisons des équivalences, montrées seulement par des dessins, ou par des calculs d’aire non généralisables)
• 2 points: Réponse correcte (Oui) avec une explication empirique (découpage et superpositions sans justifications, mesures prises à la règle sans tenir compte des rapports)
• 1 point: Réponse incomplète avec seulement la reconnaissance de l’équivalence des quatre triangles
• 0 point: Incompréhension du problème ou seulement la réponse « oui »

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Première analyse a posteriori de 6 copies de cat. 6, 15 copies de cat. 7 et copies de cat. 8 :

2 copies de cat. 6 sont blanches, ce qui confirme la difficulté du problème pour cette catégorie, confirmée par les quatre autres copies :

- dans deux de celles-ci les mesures sont prises à la règle et les formules aboutissent à des résultats différents, en confondant aussi les mesures de longueurs et d'aire,

- dans une autre, les mesures sont arrondies à 2 cm pour le côté du carré, du petit côté de l'angle droit et du grand côté de l'angle droit, sans prendre conscience de la différence évidente entre ces deux côtés,

- seule une copie atteste de la réponse correcte mais en disant qu'elle a été trouvée en utilisant du papier transparent. On suppose que le découpage a été fait correctement et que que c'est son observation qui a conduit à l'équivalence, exprimée verbalement.

Des 15 copies de cat. 7:

- 8 témoignent de mesures prises à la règle et utilisent les formules pour déterminer l’aire du carré et celle des triangles. Parmi celles-ci, 6 donnent les mêmes résultats qui conduisent à la réponse correcte, une donne d'autres mesures et conduit à des aires différentes.

- 6 groupes répondent correctement, dont un donne la figure 3 de l'analyse a priori, un autre donne la figure 4 mais subdivisée en cinq carrés dessinés indépendamment; un autre décrit verbalement la figure 2, un autre donne l'explication: les 5 parties ont la même aire parce que le côté du grand carré correspond à l'hypoténuse des triangles et le petit côté de l'angle droit est le côté du carré intérieur et la moitié du plus grand côté de l'angle droit.

- Une copie intéressante définit la mesure choisie pour le petit côté de l'angle droit comme un nombre imaginaire ou (inconnue).

Des 4 copies de cat. 8, 2 sont blanches, l'une donne un dessin qui s'approche de la figure 3 de l’analyse a priori et la dernière donne un dessin qui s'approche de la figure 4. Ces deux copies donnent la réponse exacte à partir de dessins imprécis.

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