Banca di problemi del RMT
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Un quadrato è suddiviso in quattro triangoli rettangoli uguali che determinano una quinta parte: un quadrato concentrico con il primo con il lato uguale al cateto minore dei triangoli. Confrontare le aree delle cinque parti.
Analisi a priori
- Osservare la figura e constatare che, per costruzione, ciascuno dei quattro trinagoli è rettangolo (uno degli angoli, il cui vertice è comune a quello del quadrato interno, è retto, come quello del quadrato).
- Constatare anche che la lunghezza del cateto maggiore di ciascun triangolo è costituito dal lato del quadrato interno e che, di conseguenza, il cateto maggiore di cascun triangolo è doppio del cateto minore o del lato del quadrato interno. Capire allora che i quattro triangoli sono isometrici e, di conseguenza, hanno la stessa area.
- Comprendere che il problema consiste nel confrontare l’area del quadrato centrale con quella di uno dei triangoli rettangoli:
• con il calcolo di aree: se c è la misura del lato del quadrato interno, la sua area è c2, le misure dei cateti di uno dei triangoli sono c e 2c e l’area vale (c2c) / 2 = c2. Questa giustificazione per il tramite di una scrittura letterale può anche essere fatta con spiegazioni verbali, o attribuendo un valore numerico al lato del quadrato interno (per esempio, 1) e i valori corrispondenti ai lati del triangolo, o ancora prendendo le misure necessarie sulla figura (a condizione di rispettare esplicitamente il rapporto dei lati del triangolo);
• con una scomposizione in unità d’area elementari, per esempio la pavimentazione con i triangoli della figura 1 (qui di seguito).
(A tal proposito, bisogna constatare che il triangolo in basso della figura è diviso in quattro triangolini isometrici, di cui tre sono l’immagine l’uno dell’altro per traslazione e quello al centro per simmetria centrale. Non si richiede comunque una dimostrazione più formale).
• con decomposizioni e ricomposizioni, per esempio: traslazione del triangolo in basso per dar luogo ad un rettangolo avente come larghezza il lato del quadrato e per lunghezza il doppio di tale lato. Da cui 2 triangoli equivalenti (come area) a 2 quadrati e 1 triangolo equivale dunque al quadrato (figura 2); oppure rotazione di un triangolino di 180 gradi per ricostituire un quadrato con il trapezio rettangolo rimanente (figura 3) o trasformazione del quadrato grande in cinque quadrati a croce ripetendo la trasformazione precedente (figura 4) etc. (A proposito della figura 3, bisogna constatare che il prolungamento del cateto maggiore di un triangolo taglia il lato del quadrato iniziale nel suo punto medio, cosa che potrebbe essere giustificato con il teorema di Talete o con il ritaglio della figura 1.)
scomposizione di figure, ricomposizione di figure, area, quadrato, triangolo rettangolo, isometria
Su 1670 classi di 21 sezioni partecipanti alla prova I del 17° RMT,
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 309 (42%) | 82 (11%) | 116 (16%) | 106 (15%) | 117 (16%) | 730 | 1.51 |
| Cat 7 | 123 (23%) | 53 (10%) | 126 (24%) | 134 (25%) | 98 (18%) | 534 | 2.06 |
| Cat 8 | 69 (17%) | 26 (6%) | 85 (21%) | 135 (33%) | 91 (22%) | 406 | 2.38 |
| Totale | 501 (30%) | 161 (10%) | 327 (20%) | 375 (22%) | 306 (18%) | 1670 | 1.89 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Analisi a posteriori su 6 elaborati di cat. 6, 15 elaborati di cat. 7 e 4 elaborati di cat. 8
2 gruppi di cat. 6 non hanno affrontato il problema e quindi almeno in prova I, il problema è risultato difficile per questa categoria anche perché degli altri quattro elaborati:
- due misurano con il righello, applicano le formule e giungono a misure diverse utilizzando anche erroneamente l’unità di misura lineare per l’area
- un altro misura arrotondando a 2 cm la misura del lato del quadrato e del cateto minore e riportando anche per il cateto maggiore la misura di 2 cm senza la consapevolezza della evidente differenza dei due cateti
- solo uno riporta la soluzione ma descritta con la dichiarazione di aver utilizzato la “carta lucida” per giungere alla risposta. Si presume che abbiano correttamente tagliato e osservato l’equivalenza delle figure ma è solo verbalizzato.
Dei 15 elaborati di cat. 7:
- 8 gruppi hanno misurato con il righello e usato le formule per determinare l’area del quadrato e l’area dei triangoli. Di questi 6 gruppi hanno riportato gli stessi risultati e sono giunti alla risposta corretta, uno, con le proprie misure, giunge a risultati diversi
- 6 gruppi rispondono correttamente: di questi, un gruppo riporta la fig. 3 dell’analisi a priori; uno la figura 4 ma suddivisa in cinque quadrati disegnati singolarmente; uno si riferisce alla figura 2 ma osservando verbalmente; uno ragiona verbalmente: “le 5 parti hanno la stessa area perché il lato del quadrato grande corrisponde all’ipotenusa dei triangoli e il cateto minore è il lato del quadrato interno e la metà del cateto maggiore”
- Interessante è un elaborato errato che definisce la misura scelta per il cateto minore come “numero immaginario”(incognita!)
Dei quattro elaborati di cat. 8, due gruppi non hanno affrontato il problema; uno tenta di avvicinarsi alla figura 3 dell’analisi e l’altro alla figura 4. Entrambi i gruppi danno la risposta esatta con disegni imprecisi.
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