Le sapin

Identification

Rallye: 15.I.14 ; catégories: 7, 8 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• QUA - Travailler sur un quadrillage

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer si l'aire d'une figure dessinée sur une feuille de papier quadrillé constituée de deux carrés, de cinq triangles égaux, partiellement superposés, et d’un triangle plus petit est supérieure à l'aire de la surface complémentaire.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Choisir le carré du quadrillage comme unité de mesure pour l’aire.

- Observer que le sapin est formé d’un rectangle de 2 carrés, de 5 grands triangles isocèles égaux qui se superposent de manière à avoir toujours la moitié de leur hauteur relative au côté horizontal en commun, et d’un petit triangle, isocèle lui aussi, équivalent à un carré-unité.

- Comprendre que l’aire d’un des cinq grands triangles égaux est de 6 carrés (chaque triangle se recompose en un rectangle de 6 carrés).

- Pour évaluer l’aire de la région constituée des cinq grands triangles partiellement superposés, effectuer le découpage suivant :

- Observer que chacun de ces triangles peut être subdivisé en huit petits triangles rectangles égaux, ayant chacun la même hauteur, l’autre côté de l’angle droit étant en commun ou étant opposé dans un parallélogramme.

- L’aire de chaque partie se chevauchant est donc celle de 2 petits triangles rectangles, soit ¼ de l’aire d’un grand triangle. Il y a 4 telles parties se chevauchant dont l’aire totale est donc celle d’un grand triangle. L’aire de la partie du sapin constituée par les 5 grands triangles se chevauchant vaut donc 4 x 6 = 24 carrés unités. Rajoutant les 2 carrés du tronc et 1 carré pour la cime, cela donne une aire totale de 27 carrés unités.

Ou : pour des raisons de symétrie de la figure, on peut travailler seulement sur un demi-sapin, à gauche ou à droite, et évaluer, avec des considérations analogues à ce qui précède, l’aire de la région constituée des cinq grands triangles rectangles superposés. Puisque l’aire de la feuille entière est 54 = 6 x 9 carrés, en déduire que l’aire de la partie non occupée par le sapin est encore de 27 carrés.

Ou : procéder en cherchant à déterminer dans la figure des parties blanches et grises qui se compensent, par exemple par une subdivision du genre :

- Conclure que Marie n’a pas raison : les deux parties de la feuille ont la même aire.

[Solution experte pour le calcul de l’aire des triangles de chevauchement : faire intervenir la similitude en considérant que le rapport de similitude entre la partie triangulaire superposée et le triangle entier est 1/2 et par conséquent le rapport des aires est 1/4].

Notions mathématiques

aire, isométrie, symétrie, similitude, opération, fraction

Résultats

15.I.14

Points attribués sur 80 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Marie n’a pas raison parce que les deux parties de la feuille ont la même aire) et bien justifiée.
• 3 points: Réponse correcte mais avec explication peu claire ou incomplète
• 2 points: Réponse correcte (Marie n’a pas raison parce que les deux parties de la feuille ont la même aire) sans explication,
  ou réponse erronée due à une erreur de calcul de l’aire d’une des parties, avec procédure correcte et bien expliquée
• 1 point: Début de raisonnement correct ou seulement la réponse « Marie n’a pas raison » sans explication
• 0 point: Incompréhension du problème

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