Le foulard

Identification

Rallye: 14.II.05 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaine: GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/D - Comparer des aires par découpage
• RO - Paver une figure de manière optimale

Remarque et suggestion

Résumé

Dans un carré pavé de triangles, rectangles et carrés, rechercher les rapports entre les côtés et les aires des différentes parties.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

Observer le dessin et confronter les bandes qui divisent le grand carré, de même aire mais constituées de figures différentes, en formes et nombres.

Déduire, par confrontation des bandes deux à deux :

- un carré est équivalent à trois rectangles (confrontation entre la bande de gauche et la bande centrale)

- un triangle rectangle est équivalent à un rectangle (puisque quatre rectangles et quatre triangles sont équivalents, comme on l’observe en comparant la bande de gauche et la bande de droite)

Déduire du dessin et des considérations sur les équivalences entre figures que le foulard peut être recouvert en utilisant seulement des carrés (il en faut 9) ou seulement des rectangles (il en faut 27).

Puisque les triangles sont équivalents aux rectangles, on pourrait penser que le foulard peut être recouvert aussi par 27 triangles. Mais il n’est pas possible d’utiliser seulement ces triangles : ils devraient en effet être unis deux à deux par leurs hypoténuses pour former des rectangles « doubles » (équivalant à deux petits rectangles) ; pour le pavage et on ne pourrait en placer que 13 au maximum (correspondant à 26 petits rectangles). Il resterait alors une partie vide du foulard (équivalente à un rectangle).

Ou : procéder de manière empirique, par exemple par découpage précis des pièces et par pavage ou, par mesurage des côtés pour déterminer les rapports entre les côtés.

Notions mathématiques

côté, aire, lungueur, rectangle, triangle, carré, mesure, rapport, pavage

Résultats

14.II.05

Sur 249 classes de 5 sections (RZ, PR, GE, PG, LO) ayant participé à l'épreuveII du 14e RMT

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (Oui, avec 9 carrés ; Oui, avec 27 rectangles ; Non avec les triangles) et bien justifiées (avec argumentation, dessins, …)
• 3 points: Réponses correctes sans explication ou avec dessins imprécis
• 2 points: Réponses 9 carrés et 27 rectangles avec justifications, mais erreurs ou sans la réponse concernant les triangles
• 1 point: Une seule réponse correcte donnée et justifiée ou tentatives qui révèlent une compréhension initiale du problème
• 0 point: Incompréhension du problème

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