Banque de problèmes du RMT
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Déterminer la fraction que représente une partie, en forme de trapèze, d'un carré partagé selon trois droites: deux parallèles passant chacune par un sommet et le milieu du côté opposé et la diagonale passant par les deux autres sommets du carré.
Observer les six parties déterminées dans le carré par les trois droites, et constater qu'il s'agit de deux triangles égaux dont un côté est un demi-côté du carré, deux triangles égaux dont un côté est un côté du carré et de deux trapèzes égaux constituant à eux deux un parallélogramme dont deux côtés opposés sont des demi-côtés du carré.
Chercher à recomposer ces parties pour aboutir à des parties dont l'aire se compare facilement à celle du carré ou d'un demi-carré ou d'un quart de carré. Par exemple constater que le petit triangle du bas à droite et le grand triangle de droite constituent un triangle rectangle dont un côté de l'angle droit est un côté du carré et dont l'autre côté de l'angle droit est un demi-côté du carré; puis qu'il en va de même avec les deux autres triangles de gauche; puis que les deux triangles rectangles peuvent s'assembler en un demi carré; puis que l'aire du parallélogramme est la moitié de celle du carré pour aboutir à la conclusion que l'aire de chaque trapèze (dont l'un est la partie grise) le quart de celle du carré.
L'aire de la partie grise peut aussi être calculée à partir de mesures prises sur le dessin ou sur un agrandissement précis. Mais dans ce cas, il faut maîtriser les calculs avec des approximations de mesures et pouvoir conclure que la fraction obtenue n'est aussi qu'une approximation de la fraction demandée.
carré, diagonale, parallèle, milieu de côté, trapèze, aire, équivalence, fraction
Points attribués sur 158 copies de 4 sections (les catégories 7 et 8 ont été regroupées):
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 45 (58%) | 4 (5%) | 11 (14%) | 4 (5%) | 13 (17%) | 77 | 1.17 |
| Cat 7 | 28 (35%) | 3 (4%) | 12 (15%) | 2 (2%) | 36 (44%) | 81 | 2.19 |
| Total | 73 (46%) | 7 (4%) | 23 (15%) | 6 (4%) | 49 (31%) | 158 | 1.69 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Un tiers environ des procédures reposent sur des décompositions en parallélogrammes, triangles et trapèzes, parfois par découpages et collages.
Quelques autres aboutissent à la réponse correcte (un quart de l'aire du carré) par estimation visuelle, sans explications.
Les calculs d'aire à partir de mesures se révèlent très peu efficaces car les élèves ne comprennent pas que les mesures relevées ne sont que des approximations.
La fréquence élevée des incompréhensions du problème, dans près de 60% des copies de catégorie 6, montre que la tâche demandée n'est pas à la portée des élèves de cette catégorie, qui sont encore incapables de gérer simultanément les décompositions et recompositions des parties de la figure dans le domaine géométrique, en relation avec les fractions d'aires qu'elles entretiennent dans le domaine numérique.
(On trouvera plus de détails sur les procédures et erreurs dans l'article cité en bibliographie.)
Le problème peut être repris avec des classes de catégories 7 et 8 et conduire à des mises en commun intéressantes des différentes décompositions et recompositions des parties du carré permettant d'exprimer leurs aires respectives par rapport à celle du carré.
A propos des calculs des aires du carré et de ses parties, on peut envisager de partir de carrés de différentes grandeurs du carré, d'aborder la question des approximations et de constater que l'aire de la partie grise est toujours le quart de celle du carré, indépendamment de ses dimensions.
Medici Daniela. Un problema e la sua analisi: Frazione di terreno ACTES DES JOURNEES D'ETUDES SUR LE RMT (Vol. 1, 1e et 2e rencontres). RMT: Quels apports pour la didactique des mathématiques. Brigue 1997-98, (1999). L. Grugnetti & F. Jaquet (Eds) Dipartimento di Matematica, Università di Parma & Institut de recherche et de documentation pédagogique, Neuchâtel.
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