Banque de problèmes du RMT
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Comparer l'aire d'un octogone à celle d'un hexagone.
Analyse a priori de la tâche:
- Voir que l’aire de l’hexagone d’Hélène est la moitié de celle de l’octogone d’Octave.
- Deux justifications possibles, entre autres, évaluant l’aire du rectangle disparu :
Raisonnement 1 :
- Voir que l’octogone régulier est constitué de 8 triangles isocèles égaux (triangles de base), ayant leurs sommets au centre. Puis découper ainsi le rectangle RM en triangles rectangles :
- Tous les triangles rectangles sont égaux (superposables, isométriques, …).
- Il y en a 16 formant l’octogone puisque deux d’entre eux reconstituent un triangle isocèle de base. (en gras sur le dessin) 8 d’entre eux forment le rectangle disparu dont l’aire est donc la moitié de l’aire de l’octogone.
- L’hexagone d’Hélène est le complémentaire dans l’octogone d’Octave du rectangle disparu. Son aire est donc la moitié de celle de l’octogone.
Raisonnement 2 :
- Découper l’octogone par les diagonales verticales et horizontales.
- Elles forment une croix dont le carré central a des côtés de même longueur que les côtés de l’octogone. Les 4 triangles rectangles isocèles qui complètent la croix ont pour hypoténuses des côtés de l’octogone. Ils peuvent donc recouvrir exactement le carré central, selon les pointillés.
- Les branches de la croix sont formées de 4 rectangles égaux (invariance de la figure par rotations de 90°).
- Le rectangle disparu RM est formé de deux tels rectangles et de 4 triangles, de même que l’hexagone d’Hélène. Ils ont donc même aire, l’aire de l’hexagone est donc la moitié de celle de l’octogone.
Ou, par un calcul algébrique : tracer la hauteur du trapèze A (de mesure h) et observer que le côté d’un carré, dont la diagonale est le côté de l’octogone, mesure h√2 ; la grande base du trapèze mesure 2h+ h√2, la petite base mesure h√2 et l’aire de l'hexagone est 2h2(1+ √2). Calculer ensuite l’aire du rectangle RM: h√2 (2h+ h√2) = 2h2(1+ √2). Les deux aires sont égales.
polygone, aire, octogone, hexagone, pliage
Points attribués sur 72 classes de Suisse romande:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 18 (47%) | 14 (37%) | 6 (16%) | 0 (0%) | 0 (0%) | 38 | 0.68 |
| Cat 8 | 11 (32%) | 12 (35%) | 6 (18%) | 3 (9%) | 2 (6%) | 34 | 1.21 |
| Total | 29 (40%) | 26 (36%) | 12 (17%) | 3 (4%) | 2 (3%) | 72 | 0.93 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
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