Banca di problemi del RMT
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Determinare il peso di tre vasi di marmellata di taglia differente (P, M, G) sapendo che 4P + 4M + G = 5 kg; 7P + 2G = 5 kg e 7P + 6M = 5 kg.
Osservare i disegni dei tre ripiani e dei barattoli; constatare che ci sono tre tipi di barattolo, piccolo (P) medio (M) e grande(G) e capire che il peso di ogni tipo di barattolo è il medesimo per ogni ripiano. (La frase dell’enunciato Su ogni ripiano ci sono 5 kg di marmellata deve essere evidentemente compresa come Su ogni ripiano ci sono 5 kg tra barattoli e marmellata, con barattoli pieni).
Passare al registro numerico e porre le tre relazioni 4P + 3M + G = 5 (in kg), 7P + 2G (in kg) e 7P + 6M = 5 (in kg) e di conseguenza le relazioni tra due e i tre ripiani: 4P + 3M + G = 7P + 2G; 4P + 3M + G = 7P + 6M; 7P + 2G = 7P + 6M.
In assenza di conoscenze algebriche (si tratta di risolvere un sistema di tre equazioni di primo grado in tre incognite), ci sono due modi di risolvere il problema, per scambi successivi e sostituzione basati sulle relazioni di equivalenza e loro proprietà o con tentativi e verifiche.
- Per scambi successivi e sostituzione, secondo l’immagine dei piatti di una bilancia in equilibrio, l’operazione più evidente consiste nel togliere 7 barattoli piccoli dai due ripiani inferiori per arrivare all’equivalenza 2G = 6M, poi, con una semplificazione per 2 a 1G = 3M.
Togliendo 4P e 1G dai due ripiani in alto si arriva a 4M = 1G + 3P, poi, per sostituzione, di 1G con 3M (dal confronto precedente) sul ripiano di mezzo si arriva a 4M = 3M + 3P, poi, infine, togliendo 3M dai due ripiani alti, si ottiene la relazione 1M = 3P.
Si possono allora sostituire i G e i M con dei P e, per ciascuno dei tre ripiani, si arriva a 25P = 5 (in kg) per arrivare al peso di un P = 5/25 = 0,2 (in kg), poi il peso di un M = 3 x 0,2 = 0,6 (in kg) e il peso di un G = 3 x 0,6 = 1,8 (in kg).
- Il metodo per tentativi necessita di svariate fasi. Innanzitutto trovare pesi per P, M e G che soddisfino l’uguaglianza con 5 kg pe ognuno dei tre ripiani; (per esempio per il ripiano di mezzo scegliendo P = 0,1 si trova G = (5 - 7 x 0,1 /2 = 2,15); poi applicare questi due valori su un secondo ripiano per trovare il terzo valore (secondo l’esempio precedente, si avrebbe sul primo ripiano 4 x 0,1 + 2,15 + 4 M = 5, cosa che darebbe M = (5 - 0,4 - 2,15)/ 4 = 0,5875) e infine verificare se i tre valori verificano l’uguaglianza del terzo ripiano (secondo l’esempio precedente, bisognerebbe verificare l’uguaglianza del terzo ripiano: 7P + 6M = 7 x 0,1 + 6 x 0,5875 = 4,225, cioè che questa somma è diversa da 5 e concludere che il primo tentativo P = 0,1 non va bene).
Per fortuna, un tentativo a partire da P = 0,2 permette di verificare le tre uguaglianze. Ma questo metodo, naturale, è lungo e molto complicato da gestire in tutte le sue fasi.
addizione, moltiplicazione, equazione, sostituzione, equivalenza
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