MEQ/EQL – Risolvere un sistema di equazioni lineari

Il modo “esperto” di risolvere i problemi della famiglia «Impostare, poi risolvere equazioni» richiede di scegliere una o più incognite, di tradurre i vincoli del problema in equazioni. La risposta richiesta si ottiene risolvendo l’equazione o le equazioni così sviluppate.

Questa sottofamiglia raggruppa i problemi in cui possono comparire più “equazioni” di primo grado (o lineari). Dopo la fase di appropriazione del contesto del problema e la sua traduzione in relazioni numeriche, il compito di risoluzione è fatto di tentativi casuali, poi progressivamente organizzati fino ad arrivare a “tabelle” di valori, di ipotesi e di valutazioni, di presa in considerazione simultanea delle relazioni in presenza, di sostituzioni, di confronti … secondo procedure spontanee, nel linguaggio dell’allievo, in funzione della sua età.

Conoscenze algebriche permettono evidentemente di semplificare il compito, ma per la maggior parte dei problemi la risoluzione si situa ancora in «pre-algebra».

Remarque et suggestion

Problemi

Cammelli e dromedari ! (ral. 05.I.09 ; cat. 4-6 ): Trovare il numero di cammelli di una carovana di cammelli e dromedari conoscendo il numero di zampe, 52, e il numero di gobbe, 19.

Al Luna Park (ral. 07.F.13 ; cat. 6-8 ; 07rmtf_it-13): Determinare il valore di 3 gettoni, rosso (r), blu (b) e verde (v) conoscendo le relazioni: r + 2b + v = 16, 2r + b + v = 15 e r + b + 2v = 17.

Cubetti al cioccolato (ral. 08.II.14 ; cat. 7-8 ; 08rmtii_it-14): Trovare la ripartizione di due tipi di oggetti in una scatola, i cui numeri differiscono di 16 e il cui peso totale è noto (235), conoscendo il peso della scatola piena di oggetti del primo tipo (220) e quello degli oggetti del secondo tipo (270).

Storia di rettangoli (ral. 08.II.15 ; cat. 8-8 ; 08rmtii_it-15): Determinare le dimensioni di due rettangoli di cartone che pesano rispettivamente 48 e 30 grammi, sapendo che la lunghezza del secondo è i 3/4 della lunghezza del primo e che la larghezza del secondo misura 10 cm.

La bilancia (ral. 08.F.11 ; cat. 6-8 ; 08rmtf_it-11): Raggruppare 8 numeri presi tra 1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 e 15 in due sottoinsiemi di quattro numeri in modo che la somma dei numeri dei due sottoinsiemi differisca di 30 (contesto di una bilancia a due piatti).

Gli zaini (ral. 09.II.11 ; cat. 5-8 ; 09rmtii_it-11): Determinare i valori di a e b sapendo che a = 2b e che 15a + 5b = 9a + 15b + 108.

Collezione di francobolli (ral. 09.F.06 ; cat. 4-6 ; 09rmtf_it-6): Determinare il numero dei francobolli francesi in una collezione di 45 francobolli francesi e italiani, sapendo che, dopo aver scambiato 5 francobolli italiani con tre francesi, la collezione si compone di 51 francobolli esclusivamente italiani.

Cambio di CD (ral. 10.I.10 ; cat. 6-8 ; 10rmti_it-10): Scomporre 90 in quattro termini a, b, c, d sapendo che a + 2 = b - 2 = 2 x c = d/2.

I cento euro (ral. 10.II.12 ; cat. 6-8 ; 10rmtii_it-12): Formare una somma di 100 euro in biglietti da 5 euro e monete da 1 euro e da 5 centesimi con 100 tra biglietti e monete.

La foto ricordo (ral. 10.F.14 ; cat. 7-8 ; 10rmtf_it-14): Trovare un numero s che possa essere espresso nelle tre forme: r x n = (r + 1) x (n - 1) - 4 = (r + 1) x (n - 2).

Paolo e Pietro (ral. 11.I.06 ; cat. 4-5 ; 11rmti_it-6): Determinare l’età di un padre e di un figlio conoscendo la somma delle età (60) e l’età del padre alla nascita del figlio (26).

La carovana (ral. 11.I.08 ; cat. 5-6 ; 11rmti_it-8): Determinare il numero di uomini in una carovana composta di asini e di cavalli sapendo che: su ogni cavallo ci sono un uomo ed una cassa, su ciascun asino ci sono due casse, tutti gli uomini sono su cavalli. In totale ci sono 21 casse e 52 zampe di animali.

Quanti anni hai? (ral. 13.II.02 ; cat. 3-4 ; 13rmtii_it-2): Trovare tre numeri dei quali si conosce la somma (14) e le rispettive differenze, 7 e 9, tra il numero più piccolo e gli altri due.

I tre forzieri (ral. 13.II.08 ; cat. 5-6 ; 13rmtii_it-8): Risolvere un sistema "elementare" di tre relazioni lineari tra tre valori di lingotti - piccoli, medi, grandi - distribuiti in tre casse il cui contenuto è equivalente a 30 monete d'oro: 4p + m = 30; 2p + 2m = 30; m + g = 30.

Tempo di vendemmia (ral. 14.II.14 ; cat. 7-10 ; 14rmtii_it-14): Trovare i diversi modi per ottenere le coppie (18 ; 13) per addizionare tre tipi di coppie (3 ; 2), (2 ; 1) e (1 ; 1) in un contesto di trasporto di due tipi di recipienti con tre mezzi di trasporto. (sistema lineare di due equazioni con soluzioni intere e strettamente positive)

Da un recinto all'altro (ral. 14.F.14 ; cat. 7-10 ; 14rmtf_it-14): Calcolare le dimensioni axb (con a e b numeri interi) di un rettangolo di 60 m di perimetro, sapendo che un rettangolo con il perimetro di 66 m e di dimensioni (a+6)x(b-3) ha l’area maggiore di 90 m2.

Le panchine del parco (ral. 15.I.11 ; cat. 5-7 ; 15rmti_it-11): Determinare il numero di panchine di un parco sapendo che offrono 185 posti a sedere e che le panchine a 2 posti sono 15 in più rispetto a quelle a 3 posti.

Il droghiere (ral. 15.II.14 ; cat. 7-9 ; 15rmtii_it-14): Determinare il peso dello zafferano che può essere contenuto in 3 bustine di grandezza differente, sapendo che con 14 grammi di zafferano, si possono confezionare 12 bustine piccole e 4 grandi, oppure 4 grandi e 4 medie, oppure 5 medie, 5 piccole e 2 grandi.

I trucchi di Andrea (ral. 16.I.19 ; cat. 9-10 ; 16rmti_it-19): Determinare un numero di due cifre di cui si conosce la somma e la differenza con il numero formato dalle cifre invertite.

I nastri (ral. 16.II.14 ; cat. 7-9 ; 16rmtii_it-14): Determinare la lunghezza di 4 nastri A, B, C, D conoscendo le lunghezze di loro giustapposizioni 3 per 3.

Composizioni di rose (ral. 16.F.13 ; cat. 6-10 ; 16rmtf_it-13): Determinare i numeri B1, R1, G e R2, B2 tali che B1 + R1 + G = 235, R2+ B2 = 263, B1 = B2, 3G = R1, R2 = 2R1 in un contesto di preparazione di composizioni di rose.

Caramelle a tre gusti (ral. 17.I.08 ; cat. 5-6 ; 17rmti_it-8): Tre tipi di caramelle sono distribuite in tre barattoli. In ciascuno di essi c’è lo stesso numero di caramelle di ogni tipo. Determinare il numero di caramelle di ciascun tipo messe in due dei vasetti, conoscendo informazioni parziali sulla distribuzione.

Aiuole (ral. 17.F.19 ; cat. 9-10 ; 17rmtf_it-19): Determinare l'aumento della lunghezza della circonferenza di un’aiuola circolare quando il raggio aumenta di 32 cm e individuare il numero di piantine da disporre su di essa a intervalli di 50 cm una dall’altra.

Al semaforo (ral. 18.II.07 ; cat. 4-6 ; 18rmtii_it-7): Trovare tutte le terne di numeri a una cifra, allineati, tali che la somma dei due numeri alle estremità sia il doppio del numero centrale e il primo numero sia il doppio del terzo.

Monete (ral. 19.I.11 ; cat. 6-8 ; 19rmti_it-11): Trouver une somme composée de pièces de 20 centimes et de 1 euro qui diminuerait de moitié si l'on remplaçait les pièces de 20 centimes par des pièces de 1 euro et vice-versa.

In cerca di funghi (ral. 19.I.15 ; cat. 8-10 ; 19rmti_it-15): Scomporre 57 in quattro termini a, b, c, d sapendo che a + 1 = b - 4 = 2 x c = d/2.

Mercatino dell'usato (ral. 19.II.15 ; cat. 8-10 ; 19rmtii_it-15): Trovare il prezzo di tre giornalini conoscendo le tre relazioni tra i loro prezzi: T = S + 0,60; 2M = S + T; 3T - 2M = 1,70.

L'enoteca di Transalpina (ral. 19.F.18 ; cat. 8-10 ; 19rmtf_it-18): Trovare un prodotto di due numeri tale che si aggiunge 1 al primo fattore e si sottrae 10 dal secondo fattore o se si aggiunge 3 al primo fattore e si sottrae 25 dal secondo fattore, il prodotto rimane lo stesso.

La collezione di modellini (ral. 20.I.05 ; cat. 3-5 ; 20rmti_it-5): Trovare un numero di oggetti e un numero di scatole in modo che ne rimangano 2 se si mettono 4 oggetti in una scatola e ne mancherebbero 3 se si volesse metterne 5 per scatola.

Il robot Arturo (ral. 20.II.02 ; cat. 3-4 ; 20rmtii_it-2): Su una rete composta da due tipi di segmenti, orizzontale e obliquo, trovare la lunghezza di un percorso composto da un segmento orizzontale e 5 segmenti obliqui, conoscendo la lunghezza di un percorso di 7 segmenti obliqui (42 passi) e quello di un percorso di 3 segmenti orizzontali e di 3 obliqui (30 passi).

Pacchetto vacanze (ral. 20.II.12 ; cat. 6-9 ; 20rmtii_it-12): Conoscendo il prezzo totale di tre pacchetti turistici composti da quattro attività, determinare il prezzo di un quarto pacchetto dello stesso tipo.

Amici tifosi (ral. 20.II.16 ; cat. 9-10 ; 20rmtii_it-16): Risolvere l'equivalente del sistema y + 4 = 2 (x - 4); y - 4 = x + 4 in un quadro di considerazioni sul numero di partite vinte o perse da due squadre di calcio.

Nani sulla bilancia (ral. 20.F.07 ; cat. 4-6 ; 20rmtf_it-7): Trovare tre numeri naturali di cui si conoscono le tre somme di due di essi (39, 43, 46), in un contesto di pesatura di più persone su una bilancia.

Una gita al mare (ral. 21.I.09 ; cat. 5-7 ; 21rmti_it-9): Interpréter la relation “le reste dépasse de 2 le triple de ce qui est déjà pris” dans le partage de 120. Dans un contexte de distances à parcourir.

Concerto di primavera (ral. 21.I.17 ; cat. 9-10 ; 21rmti_it-17): In una situazione di ripartizione di compensi, proporzionali a 150 e 62 biglietti venduti, sotto forma di un importo in euro e di biglietti, trovare il compenso per biglietto venduto e il prezzo di vendita di un biglietto, sapendo che per 150 biglietti venduti si ricevono 75 euro e 5 biglietti e per 62 biglietti venduti, 34 euro e 2 biglietti.

Le albicocche (ral. 21.II.11 ; cat. 6-8 ; 21rmtii_it-11): Determinare il dividendo e il quoziente intero di una divisione euclidea sapendo che se il divisore è 3 il resto sarà 2 e se il divisore è 4, al dividendo manca 5 per poter eseguire l'operazione con resto zero, in un contesto di condivisione di albicocche.

La varicella (ral. 22.F.02 ; cat. 3-4 ; 22rmtf_it-2): Trovare 2 numeri, la cui somma sia uguale a 14 e la differenza del doppio dei quali sia uguale a 4.

Tom e Lulù (ral. 22.F.07 ; cat. 5-6 ; 22rmtf_it-7): Trovare 2 numeri, la cui somma sia uguale a 78 e la differenza del doppio dei quali sia uguale a 12.

In cantina (ral. 23.II.10 ; cat. 6-8 ; 23rmtii_it-10): Determinare una quantità iniziale di bottiglie di vino sapendo che possono essere contenute in 36 scatole grandi o in 12 grandi e 45 piccole, o anche in 12 grandi e 42 piccole con un avanzo di 24 bottiglie.

La piscina di Tommaso (ral. 23.II.16 ; cat. 8-10 ; 23rmtii_it-16): Calcolare la distanza tra due quadrati concentrici in cui il perimetro dell’uno vale 3,60 m più di quello dell’altro e trovare le lunghezze possibili, comprese entro limiti assegnati, del perimetro del quadrato piccolo.

A la ricerca del numero perduto (ral. 23.F.16 ; cat. 8-10 ; 23rmtf_it-16): Applicando due diverse sequenze di calcoli ad un numero da determinare si ottiene lo stesso risultato.

Rose e tulipani (ral. 23.F.18 ; cat. 9-10 ; 23rmtf_it-18): Impostazione di un’equazione lineare in due incognite di cui si ricercano le soluzioni intere (equazione diofantea) in un intervallo prestabilito.

Cammelli e dromedari (ral. 24.I.08 ; cat. 5-6 ; 24rmti_it-8): Determinare due numeri naturali che soggiacciono a due relazioni: la loro somma è un quarto di 68 e il doppio del primo addizionato al secondo è 23, in un contesto di cammelli e dromedari.

Monete (ral. 24.I.11 ; cat. 5-8 ; 24rmti_it-11): Risolvere un sistema “elementare” di due equazioni lineari in due incognite con dei numeri naturali in un contesto di scambio di monete.

Tessere magnetiche (ral. 24.I.13 ; cat. 6-10 ; 24rmti_it-13): A partire da tre composizioni differenti, ottenute usando un certo numero di tessere di tre forme diverse e conoscendo il prezzo in euro di ogni composizione, determinare il costo di una quarta composizione realizzata utilizzando solo due delle tre tipologie di tessere (il che significa risolvere un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite).

Le biglie di Arturo (ral. 24.II.05 ; cat. 3-6 ; 24rmtii_it-5): Trovare il numero di biglie contenute in 5 scatole cubiche e in una scatola cilindrica, sapendo che ce ne sono 42 in 7 scatole cubiche e 30 in 3 scatole cubiche e in 3 scatole cilindriche (le scatole di uno stesso tipo contengono tutte lo stesso numero di biglie).

Cercate la bestiolina (ral. 24.F.04 ; cat. 3-5 ; 24rmtf_it-4): Trovare quattro numeri che compaiono in quattro somme assegnate di cinque addendi ciascuna.

Il ballo degli animali (ral. 25.I.05 ; cat. 3-5 ; 25rmti_it-5): Trovare tre numeri conoscendo la loro somma, sapendo che due di essi devono essere uguali e il terzo uguale alla loro metà.

Una gita scolastica (ral. 25.I.09 ; cat. 5-6 ; 25rmti_it-9): Trovare due numeri tali che: la loro differenza sia due, la differenza del loro prodotto per uno stesso fattore sia 9 e la somma di questi due prodotti sia 180.

Arturo, il suo gatto e il suo cane (ral. 25.I.10 ; cat. 5-7 ; 25rmti_it-10): Trovare uno dei tre numeri le cui somme sono a due a due 43, 39 e 10.

Allenamenti in bici (ral. 25.I.14 ; cat. 7-10 ; 25rmti_it-14): Determinare la lunghezza di un percorso, a + 3b + 2c, composto da tre parti a, b, c, conoscendo la lunghezza di tre altri percorsi composti dalle stesse parti, 2a + 2b + c = 42 ; 5b = 42 − 5 ; 4a + c = 48,8.

Biglietti per il teatro (ral. 25.I.16 ; cat. 7-10 ; 25rmti_it-16): La somma di due numeri è 165; calcolare un quinto del secondo dei due numeri sapendo anche che il prodotto di 10 e dei 4/5 del secondo numero è uguale al prodotto di 14 con il primo numero.

Il robot Roberto (ral. 25.II.06 ; cat. 4-6 ; 25rmtii_it-6): Su una rete composta da due tipi di segmenti, corti e lunghi, trovare la lunghezza di un cammino composto da un segmento corto e 5 segmenti lunghi, conoscendo la lunghezza di un cammino di 7 segmenti lunghi (56 passi) e quella di un cammino di 3 segmenti lunghi e 3 segmenti corti (36 passi).

I draghi (ral. 25.II.09 ; cat. 5-7 ; 25rmtii_it-9): Risolvere un sistema “elementare” di tre equazioni lineari in tre incognite con numeri naturali in un contesto immaginario di teste di draghi.

Robot-Alpha (ral. 25.II.18 ; cat. 9-10 ; 25rmtii_it-18): Determinare quante volte un oggetto mobile, che va avanti ed indietro da un punto A ad un punto B, passa per B spostandosi su un percorso definito sui lati di trapezi uguali, noti la velocità, il tempo e alcune relazioni tra le lunghezze di certi tratti del percorso.

Scambio di biglie (ral. 25.F.04 ; cat. 3-5 ; 25rmtf_it-4): Trovare due numeri che differiscono di due unità e tali che, se si raddoppia il più piccolo e si diminuisce il più grande del valore del più piccolo e poi si ripetono le medesime operazioni a partire dai valori ottenuti, si ottengono due numeri uguali.

Apparecchiare la tavola (ral. 25.F.07 ; cat. 5-6 ; 25rmtf_it-7): Trovare due numeri la cui somma è 25 e tali che il triplo dell’uno sia uguale al prodotto dell’altro per 12.

Salti di canguro (ral. 25.F.14 ; cat. 7-10 ; 25rmtf_it-14): Determinare la distanza, espressa in metri, che si percorre con salti da 4 m ciascuno, sapendo che il numero totale di salti che occorrono per coprire il percorso, facendolo per tre quarti con salti da 8m e per un quarto con salti da 4 m, è 135.

Modellini (ral. 26.I.04 ; cat. 3-5 ; 26rmti_it-4): Trovare il prezzo unitario di tre oggetti e il prezzo di un lotto di tre oggetti, conoscendo i prezzi risultanti da tre combinazioni di questi oggetti. (2c + m = 19; c + 2m = 17; 2b + m = 13)

Braccialetti decorati (ral. 26.I.11 ; cat. 6-8 ; 26rmti_it-11): Conoscendo il prezzo di tre composizioni diverse ottenute utilizzando tre tipi di oggetti con prezzi differenti uno dall’altro, determinare il prezzo di una quarta composizione che contiene gli stessi tre tipi di oggetti.

Numeri particolari (ral. 26.I.18 ; cat. 9-10 ; 26rmti_it-18): Individuare i numeri naturali di tre cifre tali che, sostituendo la cifra delle decine con una virgola, si ottenga un numero corrispondente alla loro 90-esima parte.

Strani animali (ral. 26.II.03 ; cat. 3-5 ; 26rmtii_it-3): Conoscendo il peso di due composizioni ottenute con un numero diverso di pezzi di due forme elementari, determinare il peso di una terza composizione ottenuta con pezzi analoghi

Pokemon (ral. 26.II.05 ; cat. 3-5 ; 26rmtii_it-5): Determinare due numeri di cui si conosce la differenza (5), sapendo che aggiungendo un numero (21) al minore si ottiene il doppio del maggiore; poi determinare questo doppio.

Il baule di Matt e Matic (ral. 26.II.06 ; cat. 4-7 ; 26rmtii_it-6): Risolvere, nei numeri naturali da 0 a 9, il sistema di equazioni A = C – 4 ; B = A + 2 ; D = C/4; E = A + C – 3 la cui soluzione è costituita da cinque numeri differenti.

Trenini (ral. 26.F.05 ; cat. 3-5 ; 26rmtf_it-5): A partire da tre composizioni differenti, ottenute usando un certo numero di elementi di tre tipi diversi, e conoscendo il valore di ogni composizione, determinare il valore di una quarta composizione che contiene un numero diverso degli stessi elementi (L + 5P + M = 35 – L + 3P + M = 25 – L + 3P + 4M = 34 → L + 4P + 3M = ?)

Poligoni (ral. 26.F.13 ; cat. 7-10 ; 26rmtf_it-13): Trovare, in un insieme di triangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni, 72 in tutto, per un totale di 300 lati, il numero di ciascuno di questi poligoni sapendo che ci sono tanti quadrilateri quanti esagoni e che il numero dei triangoli è il quintuplo di quello dei pentagoni

La piscina (ral. 27.II.13 ; cat. 7-10 ; 27rmtii_it-13): Determinare le dimensioni di un rettangolo conoscendo la sua area, il numero e le dimensioni di mattonelle quadrate necessarie per pavimentare il contorno esterno del rettangolo.

Cioccolatini (ral. 27.II.14 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_it-14): Trovare la somma di 5 numeri naturali a, b, c, d, e di cui si conoscono le somme parziali: a + b = 27 ; b + c = 31 ; c + d = 26 ; d + e = 18 ; a + c + e = 36.

Una grande scuderia (II) (ral. 27.II.15 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_it-15): Trovare i numeri che, moltiplicati per se stessi, danno un prodotto compreso tra 900 e 1100 e tali che la somma di questo prodotto e del numero di partenza sia inferiore a 1100.

La mareggiata (II) (ral. 27.II.16 ; cat. 8-10 ; 27rmtii_it-16): Trovare i possibili numeri di oggetti che possono essere disposti in n file di n + 4 o in n − 2 file di 16.

Disegno che passione (ral. 27.II.19 ; cat. 9-10 ; 27rmtii_it-19): Trovare i numeri di tre tipi di oggetti sapendo il prezzo unitario in euro di ciascuno (0,25; 1,50, 5), il loro numero totale (50) e il prezzo per acquistarli tutti (50).

Dolcetti natalizi (ral. 27.F.12 ; cat. 6-8 ; 27rmtf_it-12): Determinare due numeri naturali tali che la loro somma sia 27 e la somma dei prodotti del primo numero per 4 e del secondo per 7 sia 174.

Lotterie (ral. 28.I.20 ; cat. 9-10 ; 28rmti_it-20): Dato in N un sistema di due equazioni di primo grado in tre incognite, determinare il valore numerico di due altre combinazioni a coefficienti naturali delle stesse tre incognite.

In cartoleria (ral. 29.I.15 ; cat. 7-10 ; 29rmti_it-15): Trovare due numeri naturali m e n tali che 5m + 6n = 9m + 3n = 78.

Il vestito per la bambola (ral. 29.II.08 ; cat. 5-6 ; 29rmtii_it-8): Trovare quattro numeri interi sapendo che la loro somma è $66$, che la somma di due di essi è uguale alla somma degli altri due, che nessuno di essi è minore di $10$ né maggiore di $20$ e che tra due di essi c’è una differenza di $1$ cm.

Raccolta di frutti di bosco (ral. 29.F.13 ; cat. 7-8 ; 29rmtf_it-13): Trovare un numero naturale che sia la somma di altri quattro numeri a, b, c, d tali che: a = b/2, c = b + 6, a + b = c + d – 8, d = 11

Figurine da regalare (ral. 29.F.16 ; cat. 8-10 ; 29rmtf_it-16): Trovare due numeri naturali tali che il primo, se aumentato di 4, sia 5 volte il secondo, e se diminuito di 8 sia multiplo del secondo.

Le uova di Caterina (ral. 30.I.06 ; cat. 4-6 ; 30rmti_it-6): Trouver deux nombres naturels dont la somme est 28 et la somme du premier multiplié par 4 et du second multiplié par 6 est 138

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