Banque de problèmes du RMT
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Trouver la disposition des cinq nombres 1, 2, 3, 4, 5 dans les cinq cases de la base d'une "pyramide additive de nombres" de cinq étages, qui donne le plus grand nombre au sommet. La règle de construction de la pyramide est que chacun de ses nombres est la somme de ses deux voisins de l'étage inférieur.
La phase d’appropriation de la situation est largement facilitée par les deux exemples donnés et, apparemment, la tâche consiste en additions successives pour compléter les pyramides.
Il faut s’apercevoir que, même si l’énoncé le laisse prévoir, c’est le choix des positions des nombres de 1 à 5 dans la base qui va déterminer le nombre du sommet, et qu’il y aura beaucoup de cas à envisager.
Organiser les essais pour arriver au nombre maximum au sommet de la pyramide: 61, correspondant à une disposition du 5 au centre le la base, avec 3 et 4 à ses côtés et 1 et 2 aux extrémités.
Les savoirs nécessaires, au niveau technique de l’addition, sont disponibles dès les premières classes de l’école primaire, les autres qui seront utiles à l’organisation de la recherche sont beaucoup plus délicats à décrire et à observer. Ils ne sont pas spécifiés dans les objets d’étude des programmes officiels et s’inscrivent dans un parcours à long terme vers le développement d’une démarche scientifique. En particulier:
- Ressentir, expérimenter, tenter de décrire et expliquer l’effet des déplacements des cinq nombres de base, où apparaît l’idée de variation, pour conduire à une réflexion sur certaines propriétés de l’addition
- Organiser des essais de manière rigoureuse, pour éviter les répétitions ou les oublis, où interviendront des raisonnements de type combinatoire.
pyramide, somme, addition, maximum, nombres naturels, combinatoire,
Les résultats n'ont pas été conservés ou ne sont pas encore disponibles.
Le problème, proposé à des classes de catégorie 3 s'est révélé difficile car les élèves n'ont pas perçu la recherche du maximum.
Le problème peut être proposé dès les catégories 4 et 5 par exemple sous forme de concours collectif, chacun venant afficher successivement son "record". Un débat collectif permettra éventuellement d'expliciter les effets de la position du 5, du 3 et 4, du 1 et 2: les nombres du centre sont pris en compte plus souvent que ceux de l'extérieur dans les sommes des étages supérieurs. Une justification plus rigoureuse peut servir d'introduction aux écritures littérales. Par exemple, en désignant par a, b, c, d, e les cinq nombres de la base (de gauche à droite) le nombre du sommet est a + 4b + 6c + 4d + e.
L’activité peut donc se dérouler selon de nombreuses modalités, sur des durées différentes, selon les intérêts des élèves. Elle se prête aussi à de nombreuses variantes, en modifiant les questions ou les nombres de base. Pour de très jeunes élève, on peut aussi imaginer une pyramide de quatre étages seulement, qui réduit le nombre des dispositions à 6, avec cinq nombres différents au sommet.
Voir aussi les Pyramides de briques (I) (21.I.03) et Pyramides de briques (II) (21.I.12) où la tâche est de compléter des cases vides.
Jaquet. F. (2012) Concours de pyramides. In Grand N 90 pp 7 - 12
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