Banque de problèmes du RMT
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- Comprendre les consignes de construction par la lecture du texte et la vérification des exemples : triangles qui ne se superposent pas et qui ont un côté commun entier, polygones différents (qui ne sont pas superposables), la recherche peut commencer.
- Former les premiers polygones et les déposer l’un à côté de l’autre pour les comparer et vérifier qu’ils sont différents.
- Lorsqu’une dizaine de polygones ont été construits, se rendre compte qu’il faut organiser la recherche avec une méthode pour être certain de ne pas en oublier.
Il y a de nombreuses manières d’organiser l’inventaire. en voici un exemple, illustrés par les figures suivantes :
Un triangle (a) est choisi, on lui adjoint un deuxième triangle, de toutes les manières possibles et on obtient trois figures distinctes : un carré (a.1), un parallélogramme (a.2) et un triangle (a.3).
On reprend les trois polygones composés de deux triangles obtenus précédemment et on leur adjoint un troisième triangle pour obtenir (figure 2) : un trapèze rectangle (a.1.1), deux pentagones (a.2.2) et (a.3.4), un trapèze isocèle (a.2.3).
On remarque ici que les polygones (a.1.1), (a.1.1’) et (a.2.3’) sont égaux ou superposables et qu’un seul est pris en compte. On constate également que (a.2.2) et (a.3.4) sont égaux et superposables. Cette méthode de construction exige donc un contrôle rigoureux de chaque polygone qui apparaît lorsqu’on ajoute un triangle à la figure précédente.
Finalement, on reprend les quatre polygones composés de trois triangles et à chacun d’eux, on adjoint le quatrième triangle dans toutes les positions possibles le long de son pourtour.
La figure 3 présente les huit polygones obtenus à partir de (a.1.1) par adjonction du quatrième triangle, dans le sens inverse des aiguilles de la montre : un rectangle (a.1.1.1), un triangle (a.1.1.2), un pentagone sans axe de symétrie (a.1.1.3), un trapèze isocèle (a.1.1.4), un parallélogramme (a.1.1.5), et trois hexagones dont le premier, (a.1.1.6), a un axe de symétrie et les deux autres (a.1.1.7) et (a.1.1.8 n’en ont pas.
Les six autres polygones composés de quatre triangles, différents des précédents et obtenus à partir des polygones (a.2.2), (a.2.3) et (a.3.4) sont présentés sur la figure 4. On remarquera qu’il y en a quatre issus de (a.2.2) : trois hexagones dont l’un (a.2.2.10) a un axe de symétrie et un autre (a.2.2.11) qui a un centre de symétrie, et un pentagone (a.2.2.12) sans axe de symétrie ; un seul issu de (a.2.3), le second parallélogramme (a.2.3.13) ; et un seul issu de (a.3.4) : le carré (a.3.4.14).
Il y a d’autres manières de dresser l’inventaire. À l’inverse de celle qui est décrite précédemment, on peut partir d’un des polygones complets et déplacer un de ses triangles constituants en le replaçant successivement sur tous les autres côtés du même polygone. Par exemple, en partant du dernier carré (a.3.4.14) ci-dessus et en déplaçant le triangle 14, on obtient successivement l’hexagone (a.2.2.9) puis un hexagone (a.1.1.8) sans axe de symétrie et l’hexagone (a.1.1.6) avec un axe de symétrie. On peut répéter la procédure en déplaçant un autre triangle de l'un de ces trois derniers polygones, etc.
On peut aussi, comme le feront les jeunes élèves, trouver les différents polygones par essais non organisés et comparaisons avec les figures déjà trouvées.
Chacune de ces procédures exige un examen attentif des polygones pour déterminer ceux qui sont isométriques. La construction effective à l’aide du matériel facilite la reconnaissance car les objets ainsi créés peuvent être placés côte à côte ou « en miroir » pour les comparaisons.
triangle, géométrie, isométrie, quadrilatère, polygone, adjacent, trapèze, isocèle, axe de symétrie, dénombrement, inventaire
Les résultats n'ont pas été conservés ou ne sont pas encore disponibles.
L'activité est proposée dans les "ateliers" du RMT (voir bibliographie) et de très nombreuses observations d'élèves au travail, disposant de matériel (des triangles de bois) font apparaître un engagement des élèves.
Les constructions obtenues avec quatre triangles peuvent alors être facilement confrontées en les disposant les unes à côté des autres. La difficulté la plus importante est la reconnaissance de constructions symétriques par rapport à un axe ou "en miroir" qui sont égales, car leur superposition exige dans ce cas un retournement de la construction pièce par pièce.
L'inventaire complet exige, soit de nombreuses mises en commun des constructions trouvées, soit une démarche systématique très rigoureuse permettant de s'assurer de l'exhaustivité à la portée seulement d'élèves des grands degrés ou des adultes.
Au passage des constructions effectives avec du matériel au dessin des polygones sur papier s'ajoutent les difficultés de report et de placement des triangles. L'usage d'un papier quadrillé réduit considérablement les obstacles de la construction géométrique.
Pour dresser l’inventaire des polygones de « Miss Troispointe », toutes les connaissances mathématiques sur les isométries dans le plan sont mises en oeuvre, de manière intuitive. Les comparaisons des figures font intervenir les trois types de « mouvements » de base qui conservent les distances : translations, rotations (et symétrie centrale), symétries axiales.
Si l’on désire conserver une trace écrite des polygones trouvés ou une justification de ceux qu’il faut éliminer de l’inventaire parce qu’ils y figurent déjà, les connaissances sur les isométries deviennent explicites, ainsi que celles qui nécessitent la description des figures obtenues (angles, axes de symétrie, nombre de côtés, ...).
L’autre intérêt mathématique de l’activité est la procédure d’inventaire assurant l’exhaustivité.
La recherche des figures à l’aide de matériel peut être proposée dès le degré 5 mais il faut être conscient que, pour des élèves de cet âge, il faudra de nombreuses confrontations pour arriver aux 14 polygones cherchés : par des comparaisons directes au sein d’un groupe d’élèves, par des mises en commun, par un affichage progressif des différentes solutions dessinées ...
Une trace est nécessaire pour la validation de l’inventaire, au-delà de la simple exposition éphémère des assemblages de triangles. On peut imaginer des collages, un dessin sur un quadrillage où les triangles sont des demi-carrés, un dessin sur papier blanc qui exige l’usage des instruments de dessin géométrique. La trace peut être accompagnée d’une description faisant intervenir la terminologie de la géométrie. Cette tâche est donc différentiable, selon le degré scolaire des élèves.
Il existe de nombreuses variantes à cette activité. Il suffit de modifier le nombre et/ou la forme des figures à disposition pour entrer dans de nouvelles recherches.
Par exemple, on peut chercher les figures composées de deux trapèzes isocèles particuliers (constitués chacun de trois triangles équilatéraux). Monsieur Trapèze On trouve alors 9 polygones différents en combinant entre elles deux pièces seulement.
Jaquet. F. Ateliers de résolution de problèmes avec matériel. Brochure ARMT (2007)
Jaquet. F. Points de départ : Miss Troispointes et A la ménagerie, in GRAND N No 92, 2013 pp. 7 et 8, suivi de « premières réflexions » pp. 9-14.
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