Feuilles mortes

Identification

Rallye: 18.I.05 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaines: GM, GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/CP - Comparer des aires et/ou des périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Comparer les aires de deux polygones (de 8 et 12 côtés) dessinés sur un quadrillage, dont les sommets sont sur des intersections du quadrillage et dont les côtés suivent les côtés ou les diagonales des carrés du quadrillage, dans un contexte de feuilles à découper.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Comprendre qu’il faut comparer les aires des deux figures.

- Dénombrer les carreaux et demi-carreaux de chaque figure un à un, (méthode sujette à des erreurs de comptage) puis effectuer les échanges nécessaires pour les compter selon une unité de mesure commune : en carreaux (ou demi-carreaux), 61 (122) pour la figure verte et 62 (124) pour la jaune. (Au cas où ce sont les « morceaux » qui sont comptés, sans tenir compte de leurs aires respectives, on obtiendrait 70 pièces pour la figure verte et 70 pour la jaune.)

Ou : décomposer les figures en rectangles, carrés et triangles et se rendre compte que les triangles observés sont des moitiés de carrés.

Reconstruire alors les carrés « entiers » pour en compter plus facilement les carreaux, par regroupement. Par exemple, observer que la figure verte est composée de deux triangles qui constituent un carré de 4 x 4, de deux triangles qui constituent un carré de 5 x 5 et d’un rectangle de 4 x 5, ce qui donne une aire de 16 + 25 + 20 = 61 (en carreaux). De même on peut regrouper les parties de la figure jaune en deux rectangles de 4 x 10 et 2 x 3 et quatre carrés de 2 x 2, ce qui donne une aire de 40 + 6 + 4 x 4 = 62 (en carreaux)

Ou : procéder par découpage d’une des deux feuilles pour paver l’autre et constater qu’il manque (ou qu’il reste) un morceau et en conclure que la feuille jaune a une aire plus grande.

Ce problème peut provoquer un conflit aire - périmètre et certains groupes peuvent comparer les figures en mesurant les longueurs de leurs côtés, ce qui conduirait à dire que la figure verte est plus grande. De même une confusion entre aire et « encombrement » (plus grande longueur intérieure, par exemple entre deux sommets de la figure) conduirait au même résultat.

Notions mathématiques

polygone, quadrillage, aire, équivalence, triangle, rectangle, carrés, trapèze, décomposition, recomposition, transformation géométrique, unité d’aire

Résultats

18.I.05

sur 1352 classes de 21 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (il faut plus de carton pour la figure jaune que pour la figure verte) avec le détail de la démarche utilisée (calculs, découpages, parties équivalentes mises en évidence ...)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes mais qui témoignent d’une procédure correcte
• 2 points: Réponse fausse mais témoignant d’une procédure correcte (par exemple avec erreurs de comptage dues à des difficultés dans les transformations des demi-carreaux en carreaux)
• 1 point: Début de raisonnement correct mais n’aboutissant pas aux déterminations des aires
  ou réponse correcte (jaune) sans aucune justification ni détail de calcul
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Une première analyse a posteriori, partielle, a alimenté l'article de Lucia Grugnetti: "Analyse a priori, analyse a posteriori, au delà de la démarche circulaire" publié dans la Gazette de Transalpie no 4, août 2015, pp. 75-94. dont voici quelques extraits:

Ce problème peut provoquer un conflit aire - périmètre et certains groupes peuvent comparer les figures en mesurant les longueurs de leurs côtés, ce qui conduirait à dire que la figure verte est plus grande. De même une confusion entre aire et « encombrement » (plus grande longueur intérieure, par exemple entre deux sommets de la figure) conduirait au même résultat. ...

Forts des réflexions issues de l’expérience précédente, cette fois l’analyse a priori a tiré profit des aspects qualitatifs liés à la comparaison directe ou par décomposition et on a aussi mieux cherché à tenir compte du terrain de l'élève qui arrive à petits pas à la nécessité d'une mesure commune. Avec cette procédure on prévoit donc une activité de décomposition et de recomposition, comme la copie signalée plus loin le met en évidence. Il ne s'agit pas de pure habilité graphique mais on sous-entend, comme évoqué précédemment, d’aspects théoriques employés de Hilbert pour son système hypothético-déductif de la géométrie.

Dans l'analyse à priori on mentionne : « Dénombrer les carreaux et demi-carreaux un à un de chaque figure, (méthode sujette à des erreurs de comptage) puis effectuer les échanges nécessaires pour les compter selon une unité de mesure commune : en carreaux (ou demi-carreaux) » En ce qui concerne le « 0 point», est évoqué, parmi d’autres, «comptage des pièces sans tenir compte de leur aire », outre le recours au périmètre pour confronter les figures.

Le fait d’accorder une attention majeure à de telles difficultés dans l'analyse à priori (analyse de la tâche et de l'attribution des points) n'implique pas évidemment une diminution des difficultés elles mêmes, mais on contribue ainsi à en signaler l'existence aux enseignants et chercheurs qui s'occuperont de l'analyse à posteriori, commencée avec l’attribution des points aux copies. ...

Quelques aspects de l’analyse a posteriori

Comme on le voit dans la rubrique attribution des points, le « 0 point » envisage le recours au périmètre pour comparer les figure ou au comptage des pièces sans tenir compte de leur aire.

L’analyse effectuée par les membres du groupe géométrie, au sein de leurs sections d’appartenance, et largement décrite dans Anselmo et al. (2011), montre que, en effet, le « 0 point » est toujours attribué pour l’une des deux difficultés signalées et non par « incompréhension du problème ».

Et, pour cette attribution, les pourcentages décroissent en passant de la catégorie 3, (49%, sur 290 copies) à la 4 (30%, sur 489 copies) et enfin à la 5 (22% sur 545 copies).

En ce qui concerne les erreurs sur la prise de conscience de la nécessité d’une unité commune, certaines copies, surtout de catégorie 3, aboutissent à un comptage des 70 pièces (carrés et demi-carrés) qui conduit à une « égalité » des aires.

Ces résultats indiquent de toute manière que, en catégorie 5, les élèves rencontrent les difficulté et obstacles cités précédemment, même si sont moins fréquents. Il sera important de proposer d’autres problèmes similaires afin de vérifier encore l’existence de ces difficultés mais aussi pour chercher à comprendre à quel âge elles sont surmontées.

Le parcours qui va de l’analyse a priori à l’analyse posteriori, pour retourner à l’analyse a priori, de circulaire à l’origine prend en quelque sorte une forme en spirale : une spirale de parcours circulaires successifs.

Dans ce cadre, l’attention est centrée sur les difficultés et les obstacles, mais il est important de se rappeler que les analyses a posteriori des problèmes du RMT prennent en considération toute la gamme des réponses et des explications ; il arrive souvent qu’on se rende compte du nombre important de types de solutions prospectées par les élèves et auxquelles les adultes n’avaient pas pensé lors de la préparation de l’analyse de la tâche.

En voici un bel exemple :

On pourrait dire « Vivent les élèves »

Bibliographie

Grugnetti, Lucia (2015). Analyse a priori, analyse a posteriori, au delà de la démarche circulaire. Gazette de Transalpie no 4, août 2015, pp. 75-94

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