Voici l'hypothèse que je fais sur le raisonnement du prisonnier :

Le prisonnier sait qu'il y a en tout 5 bérets. Parmi eux, 3 sont rouges et 2 sont noirs. En regardant les deux autres prisonniers et en voyant qu'ils ont tous deux un béret rouge, il pense peut-être avoir, lui aussi, un béret rouge. Toutefois, la question est de savoir pourquoi il réfute l'hypothèse d'avoir un béret noir. En effet, à première vue, rien ne lui permet de l'affirmer. Ce n'est pas parce que les deux autres personnes ont un béret rouge que forcément lui a un béret de la même couleur.

Il me semble que le raisonnement du prisonnier devrait plutôt consister à conclure la vérité de son affirmation en démontrant la fausseté des autres alternatives possibles (montrer le vrai par négation du faux). Il aurait pu dire à coup sûr qu'il avait un béret rouge si les deux autres prisonniers avaient un béret noir. Dans la situation qui nous est proposée, je ne comprends pas comment le prisonnier arrive à exclure le fait que son béret puisse être noir en disant à coup sûr qu'il est rouge. Peut-être fait-il une supposition au hasard, car finalement, il n'a rien à perdre en tentant une réponse. (D.C.) (Amorce d'un travail lié à des probabilités. (LOP))

Dans un raisonnement par exclusion, il s’agit de démontrer la vérité par une proposition en démontrant la fausseté de son complément. Dans cette situation les prisonniers tirent au sort un béret parmi 5 dont ils savent que 3 sont rouges et 2 sont noirs. On leur met à chacun un béret rouge, les prisonniers voient que les bérets des autres. Ave le temps un prisonnier dit « j’ai un béret rouge ». Voyons le raisonnement qu’il a du prendre :

Dans un premier temps, le raisonnement logique aurait été de faire ce constat : si le prisonnier voit que les deux autres prisonniers ont un béret rouge sur leur tête cela voudrait dire qu’il reste comme possibilité sur les 3 rouges et les 2 noirs  1rouge et 2 noirs. Normalement il y aurait plus de chance dans ce type de raisonnement de tirer un béret noir qu’un béret rouge. Concrètement, il y a 2 chances sur 3 d’avoir un béret noir, environ 66,6%. Et 1 chance sur 3 d’avoir un béret rouge ce qui représente environ 33,3% mais pourtant le prisonnier choisi le rouge celle où il y a la moins de probabilité.

Le prisonnier a commencé par faire ce raisonnement mais il ne s’est pas arrêté à ce constat car cette réponse que tout le monde dirait de façon automatique choisir le Noir, il le sait est un « leur ». Il sait très bien que sa liberté ne lui sera pas facilement donnée, qu’il est en prison et qu’on cherche à l’avoir, et proposer la réponse inverse qu’une réponse où l’on est tous tenté de donner est une preuve de ruse. Il a procédé un raisonnement déductif, orienté vers l’application des connaissances existantes à des contenus particuliers, vers la production de connaissances à partir d’autres connaissances. Il n’est pas tombé dans le piège car la réponse semble tellement évidente lorsqu’on constate qu’il y a 66,6 % de possibilité d’obtenir un béret noir, alors le prisonnier se dit que sa liberté se trouve dans ce qui parait le moins probable, dans le béret rouge.

Soumis par Hafiz Sarah le 15.04.09 (intéressant de comparer cette voie “statistique” à celle “logique” ci-dessous. (LOP))

Pour commencer, notre première intuition voudrait que le prisonnier dise le contraire ; il a plus de chances de tomber sur un béret noir puisqu’il en reste deux, pour seulement un rouge. D’un autre côté, on s’est aussi dit qu’il avait peut-être choisi la couleur rouge en admettant qu’il y ait un conformisme dans l’habillement des prisonniers.

En faisant plusieurs schémas, avec toutes les possibilités de couleurs, nous avons pu éliminer les cas où le prisonnier connaissant la réponse voit deux bérets noirs. Il reste alors deux possibilités : soit il a un béret rouge et il reste deux noir, soit il y a un béret noir et il reste un rouge et un noir.

Ne trouvant pas de réponse, nous avons effectué des recherches sur Internet. Nous avons tapé « raisonnement par exclusion » comme mot clé et nous avons trouvé plusieurs sites qui le comparait au raisonnement déductif. D’ailleurs nous avons trouvé cette définition : déduction qui consiste à conclure la vérité d'un énoncé en démontrant la fausseté des autres alternatives possibles (montrer le vrai par négation du faux). Pourtant, même avec ces informations, nous n’avions toujours pas de piste pour continuer ; en voyant deux bérets rouges, il ne peut pas être sûr d’en avoir aussi un de la même couleur, même si les autres prisonniers se taisent.

Alors, repartant de zéro, nous avons pris comme principe que, quand un prisonnier voit un béret rouge et un béret noir et que ses deux compères ne disent rien, il peut en déduire que son béret est rouge. En effet, s’il était noir, le prisonnier au chapeau rouge aurait pu répondre immédiatement (en voyant deux noirs, il sait tout de suite qu’il est rouge).

Pour mieux expliquer notre raisonnement, nous avons décidé de nommer P1, le prisonnier qui trouve la réponse. Et P2 et P3, les deux autres qui se taisent. P1 sait qu’il est rouge parce que s’il était noir, P2 ou P3 verrait un béret rouge et un béret noir. Ce qui nous place dans la situation expliquée précédemment : comme P2 et P3 se taisent, P1 en déduit qu’il a un béret rouge. Pour finir, on peut dire que les trois prisonniers auraient pu faire le même raisonnement mais P1 a été plus rapide ou plus subtile.

(Colin Bodenmann & Steve Egger) (Il serait intéressant de procéder à l'expérience pour voir si cette solution du raisonnement au 2e degré (solution en général adoptée) tient la route, notamment pour un problème de déroulement temporel. Cette préoccupation est clairement exprimée ci-dessous (LOP)).

Sur 5 bérets, 3 sont rouges, deux sont noirs. Les trois prisonniers portent chacun un béret rouge, si bien que les 2 bérets noirs ne sont pas utilisés.

Le raisonnement du prisonnier disant qu’il a un béret rouge est le suivant :

1. Si chacun a un béret rouge, j’en ai un rouge également. Dans ce cas, il reste 1 béret rouge contre 2 bérets noirs ; la probabilité étant de 1 chance sur trois, mais ce prisonnier affirme tout de même qu’il a un béret rouge.
2. Un autre raisonnement est : puisque les deux autres ont un béret rouge, le mien est noir ; cela rejoint la probabilité mentionnée ci-dessus.

Cet exercice part du principe (émet l’hypothèse donc) qu’il n’y a aucune collaboration, car il n’est pas logique d’aider quelqu’un d’autre à sortir de prison à la place de soi-même (sinon le calcul mathématique change).

Ce qui est bizarre est que le prisonnier choisi la probabilité la plus faible, alors même que dans l’énoncé il est écrit : Le premier qui pourra dire à coup sûr (pas droit à l’erreur) la couleur de son béret sera libéré.

Il y a des informations qu’on ne connaît pas pour saisir totalement le problème :

• On ne sait pas si le prisonnier qui trouve la couleur de son béret est le premier à deviner ou si l’un de ses camarades a déjà fait une tentative avant lui. Si c’était le cas, il aurait des indices supplémentaires pour deviner. Cela pourrait expliquer pourquoi le prisonnier choisit la plus petite probabilité.
• « Au bout d’un certain temps » ne permet pas de savoir s’il y a déjà eu des essais ou non. (S.M.)

Dans notre prison, nous avons donc trois prisonniers…

La proposition ci-dessus suggérant de rebaptiser les trois prisonniers P1 (le plus malin, le plus logique), P2 et P3 est correcte, mais n’insiste pas assez sur le facteur temporel.

Comme seul le premier à trouver la couleur de son bérêt sera libéré, on peut en déduire qu’une situation évidente suscitera une réponse immédiate.(La seule situation évidente est celle où deux bérêts noirs sont portés. Dans ce cas, le troisième sait instantanément qu’il a l’un des trois bérêts rouges.)

P1 peut faire l’hypothèse qu’il porte un bérêt noir. L’absence de réaction immédiate de P3 (ou P2) pousserait alors P2 (respectivement P3) à déduire relativement rapidement qu’il porte un bérêt rouge.

Le silence « prolongé » de ses consorts amène alors P1 à déduire qu’il porte lui aussi un bérêt rouge.

C’est pourquoi, “au bout d’un certain temps, un des prisonnierS [P1] dit : « J’ai un bérêt rouge ! »”

(M. P.)

La donnée ne nous semble pas assez précise pour répondre de manière sûre à cette question.

(N.L., R.G. , M.C.)

Procédure : A mon habitude pour m’aider à réfléchir et à rendre la situation plus concrète, j’ai dessiné la situation : 3 personnages disposés en triangle et j’ai écrit R R R (pour 3 bérets rouges) et N N (pour 2 bérets noirs). Puis j’ai mis les petits « R » au-dessus de mes 3 personnages. Et j’ai réfléchi…

Raisonnement : Dotée d’une bonne capacité d’empathie, je me suis imaginée atterrir en prison (pour un quelconque délit) et que me soit proposée cette manière d’en sortir… (Réflexion mise à part, ce serait une situation très intéressante à aborder à l’aide d’une expérimentation en psychologie sociale…).

Honnêtement, je ne sais pas encore à l’heure actuelle comment je me débrouillerais avec ce dilemme.

Mais nous avons comme indice que notre prisonnier en passe d’être libéré, a produit un raisonnement qui l’a amené à dire « j’ai un béret rouge. » Il s’agit donc dans ce TPR-ci, d’expliquer mon raisonnement sur le raisonnement d’une autre personne. Peu simple quand on ne sait pas lire les pensées… Mais essayons.

Selon moi, notre prisonnier, qui a donné en premier sa réponse, a pu avoir plusieurs raisonnements :

1. Il s’est peut-être dit que vu que tous les autres avaient un béret rouge, lui aussi. Il aura eu cette réflexion suite à des éléments de contexte qui nous manque : les gardiens de prison mettent un point d’honneur à ne pas faire de différence entre leurs prisonniers, l’ordre règne dans ce pénitencier, etc. et donc tout le monde est « à la même enseigne ».
2. Ma deuxième hypothèse (quelque peu, peu probable je l’avoue, mais sait-on jamais), les prisonniers ont collaboré ! A l’aide de signes, ils ont pu indiquer au troisième (désigné et chargé de sortir de prison pour les faire s’évader) la couleur de son béret.
3. En terme de probabilité (cela donne peut-être plus de poids à ma troisième hypothèse…), notre prisonnier n’a peut-être absolument pas tenu compte de la couleur du béret des autres prisonnier (au contraire de la collaboration donc ici. Par ailleurs, ce ne sera donc pas une probabilité « conditionnelle » tenant compte d’un aspect de la réalité présente) et il se sera dit qu’il avait 1 chance sur 2 de dire la bonne couleur de son couvre-chef : noir ou rouge, peu importe ceux des autres.
4. Ma dernière hypothèse m’amène a pensé que notre prisonnier a peut-être l’esprit tordu et qu’il s’est contredit au moment de conclure son raisonnement et d’annoncer la couleur de son béret.

En effet, parmi les 5 bérets de couleur noir ou rouge (N,N,R,R,R), notre prisonnier a pu voir que les bérets R et R étaient portés par les autres prisonniers. Il restait donc comme possibilité pour son béret : N, N et R. Il y avait donc plus de chance (2 sur 3 et non pas 1 sur 3) que les gardiens lui aient mis un béret noir ! Et notre prisonnier conclut « j’ai un béret rouge. »… C’est là qu’il me manque une étape de sa réflexion… Pourquoi lui auraient-ils mis le béret noir et aux autres des rouges ? A-t-il une raison de penser que les gardiens aient voulu le différencier des deux autres prisonniers ? Un élément du contexte peut l’amener à penser cela. Nous ne savons d’ailleurs pas non plus si le tirage des bérets est dû au hasard ou si c’est un choix volontaire de la part des gardiens.

« Quel est son raisonnement ? » : Je ne saurais laquelle de mes hypothèses choisir… Je ne vais donc pas trancher et je vais continuer à y réfléchir… Peut-être qu’un élément, qu’une « clé » (des champs) m’échappe pour l’instant…

(Gaëlle B.)

Pour récapituler, il y a un total de 5 bérets. Trois d’entre eux sont rouges, et les deux autres noirs. Les trois prisonniers ont un béret rouge, mais ils ne le savent pas. Le but de chacun des trois prisonniers est de trouver la couleur de son béret pour gagner sa liberté. Chaque prisonnier voit la couleur du béret des deux autres. Au bout d’un moment, un seul des trois prisonniers dit avoir un béret de la couleur rouge. Comment a-t-il fait ? Du point de vue statistique, le premier réflexe aurait été de penser que le prisonnier ait dit qu’il avait un béret noir. En effet, il avait 2 chances sur 3 de tomber sur un béret noir.

Du point de vue logique maintenant, mon premier réflexe a été de penser au raisonnement par l’absurde. Le raisonnement par l’absurde consiste à démontrer la vérité d’une proposition en démontrant l’absurdité du contraire de celle-ci. En d’autre termes, il faudrait démontrer la vérité de la proposition « p » en posant « ~p » (c’est-à-dire non p) en hypothèse. Pour prouver la vérité de « p » il faudrait que j’obtienne une contradiction sous l’hypothèse « ~p ». Cependant, je ne pense pas que notre prisonnier a pu utiliser cette stratégie, par manque de prémisses de départ.

Ainsi, j’ai décidé de faire un tableau avec toutes les configurations possibles. Partant avec deux couleurs connues (étant donné que le prisonnier connaissait la couleur de ces collègues), j’ai répertorié cinq configurations possibles, sans considérer l’ordre des prisonniers (où R=rouge et N=noir) : (RRR) (RRN) (NRR) (NRN) (NNR). Ainsi, le prisonnier a pu exclure la configuration (NNR), étant donné qu’aucun prisonnier ne s’est manifesté. A partir de ce point, les choses se compliquent parce que je ne vois pas comment il a pu porter son choix sur la configuration (RRR), alors qu’il avait 2 chances sur 3 de tomber sur a configuration (RRN).

Pour conclure, je pense qu’il me manque des éléments quand au contexte. Le prisonnier possédait-il plus d’informations que le problème n’en donne ? Le prisonnier avait-il des raisons de penser que le gardien voulait les différencier ou non ? A-t-il choisi de donner une couleur au hasard ? Le silence des autres prisonniers a-t-il influencé son choix ? Il me reste trop de questions pour pouvoir conclure sur le cheminement de son raisonnement. Mais j’y réfléchis encore… (A.K)