Version 1: Nora a lancé un dé 24 fois et a noté chaque fois le résultat obtenu avec un P pour pile ou un F pour face. FFPF signifie face-face-pile-face. Une des deux lignes donne le résultat obtenu. L'autre a été écrite sans procéder à l'expérience.

A1) F P F F P P F P F F P P F P F F P P F P F F P P

B1) P F P F P P F F F F P F P F P P F F F F F P F P

Quelle ligne représente le protocole de Nora, et pourquoi ?

Discussion (sur forum informatique) des examinateurs du problème E1, E2, E3 et de l’auteur A

26.08, E1 : ok (?Niveau 4?)

09.11, E2 : Le problème c'est que les deux ont la même probabilité de se produire !

09.11, A : Correct. Mais : La probabilité d'obtenir FPFFPP après avoir obtenu FPFFPP (et encore et encore), est-elle la même que celle d'obtenir n’importe quels signes ? Faudrait-il poser la question différemment : quelle est la probabilité que le résultat des 6 premiers jets se répète 1,2,3 … n fois ?

10.11, E3. J'affirmerais plutôt que cette tâche sépare mal les bons et mauvais élèves concernant une compétence mathématique. Relève-t-elle une question d'intelligence générale ou d'une compétence en résolution de problème? Tout est dans le problème de l'argumentation.

13.11, A: Ok, merci. Je vais refaire une rédaction plus claire avec plus de contraste.

Nouvelle version: Nora a lancé un dé 24 fois et a noté chaque fois le résultat obtenu avec un P pour pile ou un F pour face. FFPF signifie face-face-pile-face. Une des deux lignes donne le résultat obtenu. L'autre a été écrite par Eva sans lancer le dé.

A2) F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P

B2) P F P F P P F F F F P F P F P P F F F F F P F P

Quelle ligne représente vraisemblablement le protocole de Nora, et pourquoi ?

Nouvelle discussion de vive voix et abandon du problème.

A travers ce problème, deux visions sont confrontées : la première renvoie à la perception d’un ordre spécifique et la deuxième à un problème de probabilité.

La première ligne (A) choque car on peut remarquer qu’il y a suite d’occurrences qui se répètent. La ligne B quant à elle paraît plus « naturelle » (plus déterminée par le hasard), donc celle qui correspond au protocole de Nora. Pourtant, la probabilité de reproduire avec une pièce de monnaie la ligne A ou la ligne B est la même. En effet, il est autant « difficile » de trouver (2ème essai par exemple) un « P » après « F » (ligne A) qu’un « F » après un « P ». Autrement dit, il y a autant chance que les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6 sortent à la loterie à numéro que la suite (plus « naturelle ») 43, 12, 34, 22, 16, 5.

Ainsi, la remarque de l’auteur (A) est correcte mais hors contexte. En effet, il est plus difficile d’obtenir une suite de signes qui se répètent, que n’importe quel signe. Or, dans la suite de Nora, il ne s’agit pas de n’importe quel signe, puisque le signe numéro 2 est « déterminé » par le signe numéro 1, comme le signe numéro 3 est déterminé par le signe numéro 2. Par exemple, prenons le cas plus simple de quatre lancers, respectivement d’une suite de 4 occurrences. Le nombre de combinaisons possibles est de 2 à la puissance 4, 16 suites différentes d’occurrences. La probabilité d’obtenir la suite PPPP est de 1/16, tout comme celle d’obtenir PPFP qui est toujours de 1/16, malgré que cette dernière nous semble plus déterminée par le hasard (« naturelle »).

Maintenant, il s’agit de bien comprendre la donnée. Si la question est de savoir s’il est moins probable de trouver la suite PPPP que n’importe quelles autres suites aléatoires d’occurrences, c’est-à-dire l’une des 15 autres combinaison possible, la réponse est clairement positive. Effectivement nous avons 15 chances sur 16 de trouver une combinaison différente de celle recherchée. Dans le cas où il s’agit de comparer la probabilité d’obtenir la suite PPPP ou une suite aléatoire prédéfinie avant le déroulement l’expérience (lancer de la pièce), nous tombons dans le cas ci-dessus où toutes les deux jouissent d’une probabilité de 1/16 d’apparaître.

L’ambiguïté dans la vision de l’auteur se situe dans sa phrase « …est-elle la même que celle d'obtenir n’importe quels signes ? ». (A.M.)