Ce problème pose la question de savoir s'il est avantageux, dans les conditions décrites, de changer de porte. En d'autres termes, l'action de l'animateur (ouvrir une porte avec une chèvre derrière) peut influencer notre choix, même si, celui-ci, en premier lieu s'est porté sur la porte no 1. Avant l'action de l'animateur, nous savons que le prix est derrière l'une des trois portes, avec une probabilité de 1/3 (= 33%) d'avoir la voiture. La probabilité d'avoir une chèvre de 2/3 (= 66%). Il s’ensuit, à première vue, qu’il est indifférent que l’on change ou non de porte, car chacune des deux a une chance sur deux de contenir le prix convoité. Toutefois nous pouvons nous poser la question de savoir si le fait de changer de porte augmente d'une façon ou d'une autre la probabilité de gagner et si oui, pourquoi ? Le raisonnement intuitif en probabilités nous pousse toujours à considérer une chance sur deux de gagner, tout comme nous pensons qu'il existe une chance sur deux de tirer pile ou face. Pour les deux portes restantes, nous pensons 50% / 50%.
Reprenons notre raisonnement. La probabilité de choisir la porte derrière laquelle se trouve une chèvre est de 2/3 avant que l'animateur n'ouvre une porte où il y a une chèvre. Il faut donc supposer que nous avons, en premier lieu choisi une porte avec une chèvre (66% de chance). Comme l'animateur ouvre toujours une porte avec une chèvre, il vaut la peine de risquer de changer de porte. En effet, après que l'animateur ait ouvert une porte avec une chèvre, les probabilités s'inversent : la probabilité d'avoir la voiture est de 66% et celle d'avoir une chèvre : 33% à condition que l'on ait effectivement choisi une chèvre la toute première fois. Par conséquent, je changerais de porte. (D.C) (Intéressante cette idée de « l’attracteur » 1/2 ; 1/2 (LOP)).
Dans ce problème nous somme face à trois porte fermées, derrière l’une d’elle se trouve une voiture et derrière les deux autres une chèvre. Nous sommes invités à ouvrir une porte et gagner ce qu’il se trouve derrière. Notre intuition nous dit que les prix convoités peuvent se trouver derrière les trois portes avec chaque fois une probabilité de 1/3. Notre choix s’est fait en connaissance de la probabilité, nous savons que nous avons 30% de chance de tomber sur la bonne porte, celle avec la voiture. Mais la porte qui est choisie par nous, candidat n’est pas ouverte avant que l’animateur ouvre une porte derrière laquelle se trouve une chèvre, bien évidemment le présentateur sait ce qu’il y a derrière chaque porte et c’est pour cette raison qu’il choisi celle avec la chèvre sinon le jeu n’aurait plus de sens si l’animateur ouvrirait la porte avec la voiture.
Alors à ce moment là l’animateur propose deux choses : soit de rester sur mon premier choix ou alors de changer de porte. Notre raisonnement change complètement surtout lorsqu’il propose garder la porte 1 ou choisir celle qui est fermée. Notre intuition peut être double, la première nous dit cette situation change la probabilité que la voiture se trouve derrière l’une ou l’autre des deux portes restantes, nous ne sommes plus à 1 chance sur 3. La deuxième intuition est qu’aucune des portes n’a plus de chance que l’autre d’être la bonne. Il est égal de changer de porte puisque chacune des deux portes a 1 chance sur 2 de contenir la voiture. Il est certain que ce problème à du tromper plus de certain, c’est évident il est contre intuitif.
La question qui se pose à ce stade du casse-tête est de savoir s’il faut changer son choix initial pour augmenter ses chances de gagner la voiture ?
Mais d’après mes connaissances et des théories mathématiques, il vaut mieux changer de porte pour augmenter sa chance de gagner. Le joueur qui change de porte gagne deux fois sur trois et perd une fois sur trois alors que le joueur qui ne change pas de porte gagne un fois sur trois et perd 2 fois sur 3. Celui qui change son choix initial a donc statistiquement plus de chance de gagner.
Ma réponse est de changer de porte !!!
Réponse soumise par Hafiz Sarah le 15.04.09
D’un point de vue intuitif, comme il reste deux portes, il serait évident de penser qu’on a une chance sur deux d’avoir la bonne porte et aussi une chance sur deux d’avoir la mauvaise (donc de devoir changer).
Toutefois, en tenant compte du fait qu’au départ on a deux chances sur trois de tirer la mauvaise porte, on a donc deux chances sur trois de devoir changer. Il est plus avantageux de changer de porte quand le présentateur nous en donne l’occasion.
Pour être sûr de notre raisonnement, nous avons effectué quelques recherches sur Internet et nous avons trouvé un simulateur de la situation :
http://pagesperso-orange.fr/jean-paul.davalan/proba/3p/index.html
(Colin Bodenmann & Steve Egger)
Nous avons tenté l'expérience sur le simulateur pour avoir des données statistiques. Nous précisons juste que le simulateur cité ci-dessus calcule automatiquement le pourcentage de réussite (i.e. la voiture) et garde en mémoire le résultat de chaque essai. Nous effectué 30 parties de suite et avons obtenu un taux de réussite de 73.3% ( 22/30). La différence entre le 73.3% de réussite et le 66.6% escompté s'explique sûrement par le petit nombre de cas pris en compte. Il semble raisonnable de penser qu'avec un nombre “suffisamment grand” d'essais, le taux de réussite approcherait les 66.6%.
(Colin Bodenmann & Steve Egger)
Lors du premier choix, il y a une chance sur trois de tomber sur la voiture. Une fois que l’une des deux portes où se trouve une chèvre est ouverte, la probabilité d’avoir la voiture se réduit à une chance sur deux (portes).
Le fait est de savoir s’il décide au cours de l’aventure de changer ou non de porte. C’est pourquoi il faut être attentif à d’autres facteurs externes à simple calcul mathématique de probabilité.
En effet, un biais potentiel est le rôle central joué par l’animateur. Il connaît la réponse ; sera-t-il en mesure de rester le plus neutre possible sans donner d’indices ? Ceux-ci peuvent être de nature verbale ou non verbale, c’est-à-dire par une phrase ou par un comportement qui pourrait inciter le participant à changer de porte. Cela serait une forme de bluff.
De plus, il faudrait dans l’idéal effectuer un calcul sur le long terme pour savoir si la plupart des participants gardent ou changent de porte et surtout en fonction de leur choix, s’il gagne ou non la voiture.
Voici quelques indices qui permettent de dépasser le cadre d’un « simple » dilemme mathématique. Qu’il change ou non de porte, le participant a toujours 50% de gagner la voiture. Ce n’est qu’une question de chance ou de hasard.
Le jeu se nomme « dilemme » car la participant est proche du but et cherche à avoir un maximum d’indices pour gagner. Or, c’est un faux dilemme car rien ne peut augmenter sa probabilité de gagner. (S.M.) (l'intérêt de cette réflexion est d'introduire la composante “attitude” de l'animateur. Quelle influence ? (LOP)).
Par les temps qui courent, je peux légitimement me demander si préférerais la voiture à la chèvre…
Supposons que oui…
Quel que soit mon premier choix, l’animateur aura à disposition au moins une porte à chèvre. Ce qui relèvera immanquablement mes chances de succès de 33,3% à 50%. Statistiquement, il y a autant de chances que la voiture se trouve derrière mon premier choix que derrière la dernière porte disponible. Le reste est affaire de « psychologie ».
Une hésitation ? Une intuition ?
Et le rôle de l’animateur ? Comme évoqué dans la réponse précédente, il a un rôle essentiel. Face à une hésitation exprimée de ma part entre deux portes, il pourrait par exemple la lever en ouvrant celle que je ne retiens pas à la première étape, à condition bien sûr qu’elle ne cache pas la voiture ! Mais il pourrait aussi faire le choix inverse !
Et quel est l’intérêt de l’animateur ? Faire gagner des chèvres pour que la chaîne qui l’emploie fasse des économies ou faire gagner des voitures pour encourager la participation ?
Il n’est ni mon allié, ni un joueur de poker jouant contre moi et cherchant absolument à l’emporter. Par contre, il doit paraître aussi équitable que possible vis-à-vis des différent-e-s concurrent-e-s pour éviter à la chaîne tout risque de procès…
Colin Bodenmann & Steve Egger suggèrent ci-dessus un simulateur. Celui-ci incite à changer de choix après l’intervention de l’animateur. Je ne vois pas la logique sous-jacente. De plus, ce modèle ne tient absolument pas compte du fait que l’animateur est un humain… (Et effectivement, s’il s’agit de changer d’avis, cela signifie que le premier a été mauvais. Du coup, l’animateur n’a plus de choix et doit automatiquement ouvrir la porte cachant l’autre chèvre. Mais auparavant, il peut bluffer !!!)
(M. P.)
Nous changerions de porte! En effet, ainsi on a 2/3 de chances de tomber sur la porte derrière laquelle se trouve la voiture, alors que si on ne change pas, on n'a qu'1/3 de chances. Ceci s'explique car lors de notre premier choix, on a une probabilité de 1/3 de choisir la bonne porte et 2/3 de choisir une mauvaise (car il n'y a qu'une voiture sur 3 portes).
Dans le cas où le premier choix serait mauvais (2/3 de chances), on a forcément la bonne porte en changeant, puisque le présentateur ne va pas ouvrir celle où est la voiture. Dans le cas où le premier choix était le bon (seulement 1/3 de proba), il ne faudrait pas changer mais on ne peut pas le savoir. Donc pour optimiser nos chances de gagner (2/3), il vaut mieux changer de porte!
(N.L., M.C., R.G.)
Procédure (voici comment je m’y suis prise…) : Pour accompagner mon raisonnement, j’ai tout d’abord dessiné la situation : j’ai croqué les trois portes et me suis imaginé choisir l’une d’elles.
Raisonnement : Ensuite, j’ai découpé mentalement la procédure en 2 situations : la situation n°1 est celle du premier choix, par le candidat. La situation n°2 est la situation du 2ème choix, lorsque l’animateur a ouvert une porte (qui cache une chèvre, et cela systématiquement dans la 2ème situation si j’ai bien compris ?) et que le candidat va devoir choisir entre garder son premier choix ou le changer.
A ce stade du jeu, je ferais une remarque : la situation n°2 est toujours la même ! Le présentateur laisse le candidat choisir une porte, puis il lui en ouvre ensuite une qui cache une chèvre.
A mon avis ce choix est un « faux choix », c’est une fausse impression que celle d’avoir le sentiment d’avoir le choix. En effet, imaginons les différents cas de figures (pour cela, je me suis représentée moi-même dans la situation en train de faire le choix).
Dans tous les cas, arrivés au stade de la situation n°2, une fois que l’animateur a ouvert une porte contenant une chèvre, notre candidat a le choix entre une auto et la 2ème chèvre.
Du côté des calculs de chances… : Lors de la situation n°1, notre candidat a 1 chance sur 3 (portes) de choisir la voiture. 1 porte sur 3 l’intéresse, donc une probabilité de 1/3.
Lors de la situation n°2, notre candidat a 1 chance sur 2 (portes) de choisir la voiture, car l’animateur a « supprimé » un choix en ouvrant une porte. Il lui reste donc son premier choix et un deuxième : 1 chance sur 2 : probabilité de 1/2.
Le fait que l’animateur ait ouvert une porte, augmente le nombre de chance d’obtenir la voiture (1/2 au lieu de 1/3). Mais sa question « Gardez-vous la porte 1 (votre premier choix) ou reportez-vous votre dévolu sur l’autre porte restée fermée ? » ne change absolument rien. C’est le fait qu’il ouvre une porte qui restreint les choix possibles, mais vu qu’il ouvrira systématiquement la porte avec une des chèvres, il restera toujours soit l’auto, soit la deuxième chèvre, ceci que le candidat change de choix ou non.
« Que feriez-vous ? » : Eh bien, j’irais en tout cas jusqu’à la situation n°2 puisque j’aurais plus de chances de tomber sur la voiture. Quant à savoir si je changerais mon premier choix, vu que qu’il me resterait à disposition soit l’auto soit la chèvre, et bien je crois que je me dirais : « la première idée est toujours la bonne ! ».
(Gaëlle B.)
A la base,le participant d'un jeu télévisé doit choisir une des trois portes qui contiennent respectivement la voiture qu'il désire gagner et deux chèvres, synonymes d'échec.
Après que l'animateur ait ouvert une des trois portes pour laisser apparaître une des deux chèvres, il ne reste plus que deux portes dont l'une choisie depuis le début par le participant. En définitive, rien n'a changé depuis le début et le problème reste le même car la logique ne peut pas fournir la bonne réponse au participant. C'est du 50/50 pour les deux portes restantes après un 33/33/33/…Objectivement, rien n'a changé si ce n'est le taux de probabilité qui augmente.
La seule chose qui a changé, c'est l'aspect psychologique et l'influence que peut avoir la peur sur le participant. En effet, en voyant apparaître la chèvre derrière une des mauvaises portes,le participant pourrait être tenté de changer de porte alors que, logiquement, rien ne devrait le perturber dans son choix initial! C'est une simple question de psychologie qui s'invite dans un débat logique dont la réponse est connue depuis le début.
REPONSE:Le participant n'a aucune raison logique ou objective de changer de porte!
(Victoria K.)