Confronto di figure

Identificazione

Rally: 26.I.12 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: GP
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• CA/P - Confrontare aree su una quadrettatura
• QUA - Lavorare su una quadrettatura
• QUA/GQ - Gestire poligoni su carta quadrettata

Remarque et suggestion

Sunto

Confrontare le aree di tre poligoni (di 5 o 6 lati), aventi i vertici sulle intersezioni di una griglia quadrettata.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Capire, dalla lettura dell’enunciato e dall’osservazione delle figure, che per confrontarle bisogna calcolare le aree secondo un’unità comune.

Constatare che le tre figure non sono né dei rettangoli, né dei triangoli per i quali si possano applicare formule note, che la presenza della quadrettatura permette di scegliere il quadretto come unità comune e che bisognerà scomporre le figure in quadretti interi o parti di quadretti o in figure di base: rettangoli, triangoli o semi rettangoli la cui area si determina facilmente

Le procedure di determinazione dell’area sono molteplici e differenti da una figura all’altra, in particolare:

• conteggio una a una delle unità intere, poi ricostituzione di unità per spostamento di parti non intere.
• scomposizione della figura in rettangoli e triangoli che possono ricostituire un rettangolo per spostamento
• percezione del triangolo rettangolo come semi rettangolo
• i triangoli non rettangoli senza angoli ottusi sono scomposti in due triangoli rettangoli
• calcolo dell’area del rettangolo circoscritto alla figura totale seguito dalla sottrazione delle aree dei rettangoli e/o dei triangoli complementari
• applicazione della formula per l’area del triangolo

Trovare l’area delle tre figure, in quadretti, per esempio:

• Per A: un rettangolo di 6 × 7 da cui si tolgono quattro triangoli di 5 × 1, di 6 × 1, di 6 × 3, di 5 × 2 e un rettangolo di 2 × 1 : 42 – 2,5 –3 – 9 – 5 –2 = 20,5.
• Per B: un rettangolo di 6 × 2 e un triangolo di 6 × 3 : 12 + 9 = 21 o compensazione di quadretti per il triangolo
• Per C: scomposizione in un rettangolo e tre triangoli: 6 + 2 + 10 + 3 = 21

Concludere che le tre aree non sono uguali e che misurano rispettivamente 20,5; 21 e 21. (in quadretti della quadrettatura)

In caso di determinazione delle aree a partire da misure prese, in cm o mm, sui poligoni che compongono le figure, bisogna essere coscienti dell'imprecisione delle misure che non permettono d'affermare che le aree sono uguali o diverse in quanto i risultati ottenuti saranno solo delle approssimazioni.

Nozioni matematiche

poligono, quadrettatura, area, misura, scomposizione, addizione, sottrazione, formula

Risultati

26.I.12

Punteggi attribuiti su 3265 classi di 18 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta: le tre aree non sono uguali A: 20,5; B: 21 e C: 21 (in quadretti della quadrettatura). Si accetta che la disuguaglianza non sia menzionata esplicitamente; per ognuna delle aree però sono richiesti la descrizione dei calcoli o i conteggi. (In caso di misure in cm o mm, la disuguaglianza o l’uguaglianza delle aree devono essere accompagnate da calcoli precisi, che tengono conto esplicitamente degli errori di approssimazione)
• 3 punti: Risposta corretta, con le tre aree trovate, ma con i dettagli dei calcoli solamente per una o due tra di esse
  oppure risposta corretta per due delle aree e errore sulla terza, con dettaglio dei calcoli
  oppure aree calcolate a partire da misure corrette al mm, senza menzione esplicita agli errori dovuti alle approssimazioni
• 2 punti: Risposta corretta, con le tre aree trovate, senza il dettaglio dei calcoli
  oppure risposta corretta per una sola delle tre aree e un solo errore per ognuna delle altre due, ogni volta con il dettaglio dei calcoli
  oppure risposta corretta con il calcolo corretto per due aree, con il dettaglio dei calcoli, ma il calcolo della terza non è stato affrontato o contiene più di un errore
  oppure risposta errata (le aree dei tre poligoni sono uguali) dovuta a degli errori di calcolo nella determinazione dell’area di A, con il dettaglio delle operazioni
• 1 punto: Determinata soltanto l’area di una o due delle figure, senza dettagli
  oppure risposta approssimativa a partire da misure prese sui poligoni che compongono le figure
• 0 punto: Incomprensione del problema

Il criterio “0 punti: Incomprensione del problema” avrebbe dovuto essere accompagnata da un complemento del genere: “oppure tentativi che non portano ad alcuna delle aree attese„.

Infatti, l'osservazione a posteriori degli elaborati ha mostrato che si tratta raramente di una “incomprensione del problema” ma di tentativi di determinare le aree senza arrivare a trovarne una sola corretta, non soltanto a seguito di errori di calcolo dei quadrati ma perché le procedure erano inadatte (insufficienze nei raggruppamenti, decomposizioni approssimative,…). Ci sono rarissimi elaborati in bianco.

Le medie ottenute possono sembrare deboli ma occorre tener conto che i punteggi attribuiti dipendono dall'insieme del compito: la ricerca delle superfici delle tre figure. Ciò che significa, ad esempio, che il 39% (6 + 18 + 15) dei gruppi ha trovato due o tre delle aree, 28% ne hanno trovato una sola ed il 34% ha commesso troppi errori e non ha alcuna trovato area corretta.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

L'analisi a posteriori approfondita di circa 350 elaborati di quattro sezioni ha permesso di evidenziare tre procedure principali:

Determinazione della misura dell’area per conteggio delle unità, dopo raggruppamenti

Questa procedura è la più frequente tra le classi di categoria 6 che hanno trovato correttamente le aree delle tre figure, ma anche tra le altre che hanno trovato solo una o due aree o tra quelle che non hanno ben gestito il conteggio.

Nei (rari) elaborati che giungono alle aree corrette A = 20,5; B = C = 21 (in quadrati della quadrettatura) o a risposte vicine comprese tra 20 e 22 figurano in generale tracce di conteggi e di raggruppamenti: numeri o degni all’interno dei quadretti, frecce, corrispondenza di colori. (Si veda la figura 1)

La difficoltà principale di questa procedura si situa nell’ambito dei raggruppamenti: la ricostituzione di quadrati esige un’analisi visiva fine delle diverse parti. Fa intervenire il riconoscimento degli spostamenti effettuati in quanto isometria, anche se rimane in forma implicita: traslazioni, simmetrie centrali, rotazioni.

Scomposizione in triangoli e rettangoli

Per evitare il conteggio uno a uno delle unità d’area una parte dei gruppi ha scomposto i poligoni in rettangoli, triangoli e talvolta trapezi (per la figura C). Per essere efficace, la scomposizione deve rispettare una condizione: alcuni lati delle nuove figure devono seguire le linee della quadrettatura, da un nodo all’altro, perché si possano determinare esattamente le loro dimensioni, in unità che sono i lati dei quadrettini della quadrettatura.

Nel caso del poligono A, la scomposizione in triangoli la cui lunghezza di alcuni lati sia determinata dalla quadrettatura non è possibile. Bisogna passare da una scomposizione additiva dell’area del poligono a una scomposizione “sottrattiva” a partire dal suo rettangolo circoscritto dal quale si tolgono i triangoli complementari aventi un lato sulle linee della quadrettatura. Si tratta di un salto epistemologico che merita di essere segnalato in quanto conferma ciò che era già stato osservato all’atto delle analisi a posteriori di altri problemi della medesima famiglia di compiti.

(Si veda la figura 2 che, al di à delle scomposizioni, mostra una grande padronanza di tutte le conoscenze richieste per la risoluzione del problema)

Scomposizione in triangoli e rettangoli poi misurazioni in cm e mm e calcoli con l’ausilio di formule

In generale, le procedure tramite misure hanno dato molto raramente risultati accettabili (anche tenendo conto dell’impossibilità di confrontare in questo modo le aree dei tre poligoni) a causa delle grosse imprecisione nella misurazione, delle scelte inadeguate della base e dell’altezza dei triangoli e delle applicazioni errate della formula (b × h) / 2.

Questi tentativi di misurazioni rivelano diversi tipi di ostacoli.

Il primo che potremmo qualificare come “didattico” sembra venire dalle pratiche o abitudine scolastiche: questi gruppi di allievi non si pongono la questione dell’unità che, secondo loro, è obbligatoriamente il centimetro quadrato e pensano che i confronti di aree esigano dei “calcoli” corrispondenti a formule a partire da misure prese con il righello, in cm.

Il secondo è la percezione imprecisa dei segmenti da misurare per calcolare l’area di un triangolo quando l’enunciato del problema non li designa esplicitamente. E’ legato a immagini mentali insufficienti che persistono nella mente di numerosi allievi: la "base" è il lato più lungo o quello “orizzontale”, “l’altezza” si misura verticalmente lungo un segmento all’interno del triangolo", ...

Il terzo ostacolo è di ordine concettuale e riguarda l’intervallo all’interno del quale si situa una misura presa con il righello: i numeri letti sul righello sono considerati come numeri ben determinati, numeri interi di cm o di mm, ma non possono ancora essere concepiti come “numeri reali” da allievi delle categorie interessate (dai 12 ai 15 anni).

Questi ostacoli a proposito della misurazione sono ben visibili attraverso l’esame degli elaborati degli allievi di tutti i problemi dove intervenga la determinazione di aree, in particolare quelli della famiglia CA -Confrontare aree.

Per maggiori dettagli si veda l’articolo in bibliografia.

Indicazioni didattiche

La ricchezza e la varietà di procedure, errori e ostacoli offrono molteplici suggerimenti per l’utilizzazione di questo problema in classe al fine di rivedere e approfondire tutte le fasi della costruzione del concetto di area:

- la percezione della “grandezza” area e la sua distinzione dalla “grandezza” lunghezza, la necessità di scegliere un’unità d’area che sia la medesima per tutte le figure,

- l'organizzazione del conteggio e dei raggruppamenti delle parti di unità,

- la necessità di scomporre le figure complesse in figure elementari nel caso in cui il conteggio e i raggruppamenti siano troppo complessi,

- “l'additività” delle aree che può estendersi alla “sottrattività” quando si inquadri la figura in un rettangolo circoscritto,

- la padronanza delle formule dell’area del rettangolo, ma anche del triangolo, la percezione che un triangolo è un semi-parallelogramma che è da parte sua equivalente ad un rettangolo,

- la totale inadeguatezza dei tentativi di misurazione in cm, …

Bibliografia

Jaquet, F. (2018). Aree di poligoni su quadrettatura. La Gazette de Transalpie / Gazzetta di Transalpino No.8 http://www.armtint.org/fr/le-gazzette-di-transalpino/numero-8/finish/33-la-gazzetta-n-8-articoli-la-gazette-n-8-articles/1108-08-aree-di-poligoni

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